Таблица команд должна указать машине, что делать при любой конфигурации, в которой она оказалась, и в зависимости от того, какой символ, если таковые имеются, она обнаружила в соответствующем квадрате. Например, таблица команд для конкретной задачи может состоять в том, что если машина была в конфигурации 1 и увидела 1 в квадрате таблицы команд, то она должна передвинуться на одну клетку вправо и перейти в конфигурацию 2. Довольно удивительно для нас, но, видимо, не для Тьюринга, что такая машина, если ей задать надлежащую таблицу инструкций, может решать любые математические задачи независимо от того, насколько они сложны.

Как может эта воображаемая машина ответить на третий вопрос Гильберта, то есть на проблему разрешения? Тьюринг подошел к проблеме, уточнив концепцию «вычислимых чисел». Любое действительное число, которое определено с помощью математического правила, можно найти с помощью логической вычислительной машины. Даже иррациональное число, напримерр, можно вычислять с бесконечной точностью, используя конечную таблицу команд. Таким же образом можно рассчитать логарифм 7, квадратный корень из 2, или последовательность чисел Бернулли (в составленим алгоритма вычисления которых участвовала Ада Лавлейс), или любое другое число или ряд, независимо от того, насколько сложно их вычислять, лишь бы эти вычисления задавались конечным числом правил. Все они были в терминологии Тьюринга «вычислимыми числами».

Тьюринг продвинулся дальше и показал, что невычислимые числа также существуют. Это было связано с проблемой, которую он назвал «проблемой остановки». Как он показал, никаким методом заранее нельзя определить, приведет ли любая заданная таблица инструкций в сочетании с любым заданным набором исходных данных к тому, что машина найдет ответ, или же она войдет в вычисление некоторых циклов и будет продолжать пыхтеть бесконечно долго, так и не получив ответа. Неразрешимость проблемы остановки, как он показал, означает, что нет решения и у Entscheidungsproblem — проблемы разрешения Гильберта. Несмотря на надежды Гильберта, оказалось, что никакая механическая процедура не может определить доказуемость каждого математического утверждения. Теория Гёделя о неполноте, неопределенность квантовой механики и ответ Тьюринга на третий вопрос Гильберта — все они наносили удары по механической, детерминистской и предсказуемой Вселенной.

Статья Тьюринга была опубликована в 1937 году под не очень выразительным названием «О вычислимых числах и их приложении к Entscheidungsproblem». Его ответ на третий вопрос Гильберта оказался полезным для развития теории математики. Но гораздо более важным стал «побочный продукт» доказательства Тьюринга — его концепция логической вычислительной машины, которая вскоре стала известна как «машина Тьюринга». В статье он утверждал: «Можно изобрести единую машину, которую можно использовать для вычисления любого вычислимого ряда». Такая машина была бы способна выполнить команды, данные любой другой машине, и решить любые задачи, которые та машина может решить. В сущности, она была воплощением мечты Чарльза Бэббиджа и Ады Лавлейс об универсальной машине самого общего назначения.

Другое и менее красивое решение для Entscheidungsproblem с более громоздким названием «Бестиповое лямбда-исчисление» раньше в этом же году опубликовал Алонзо Чёрч, математик из Принстона. Руководитель Тьюринга — профессор Макс Ньюман — решил, что Тьюрингу было бы полезно поучиться у Чёрча. В своем рекомендательном письме Ньюман описал огромный потенциал Тьюринга. Он также добавил более личную рекомендацию, основанную на особенностях характера Тьюринга. «Он работал без всякого руководства или обсуждения с кем-либо, — написал Ньюман, — и поэтому важно, чтобы он как можно скорее вступил в контакт с ведущими специалистами в этой области, чтобы не превратился в закоренелого отшельника».