Было бы исключительно неприятно иметь систему письма, в которой значение буквы зависело бы от ее местоположения в слове. Представим себе, например, во что превратился бы процесс чтения, если бы две буквы «а» в слове «алфавит» имели бы полностью различные значения. Однако позиционная система для обозначения чисел настолько удобна и эффективна, что нам трудно себе представить, как можно пользоваться каким-либо другим способом.

Но не всегда дело обстояло таким образом. Нашим современным обозначениям не более 1500 лет, а в Европе их впервые ввели в употребление лишь немногим более 800 лет назад. Даже сегодня для одних и тех же десятичных цифр в различных культурах используются различные символы — достаточно взглянуть на любую египетскую денежную банкноту. Представители древних культур записывали числа множеством самых разнообразных и необычных способов. Вероятно, лучше всего нам известна римская система, в которой число 2006 имеет вид MMVI. В древней Греции то же число имело бы вид <strikethrough>β</strikethrough>ζ. Вместо наших 2, 20, 200 и 2000 римляне писали II, XX, CC и ММ, а греки — β, κ, σ и <strikethrough>β</strikethrough>.

Вавилоняне были самой ранней из известных нам культур, использовавших нечто родственное нашим позиционным обозначениям. Однако с одним важным отличием. В десятичной системе при каждом смещении цифры на одну позицию влево ее численное значение умножается на десять. Так, 20 есть 2, умноженное на десять, а 200 — 20, умноженное на десять. В вавилонской же системе каждое смещение влево приводило к умножению числа на шестьдесят. Так, 20 означало бы 2 умножить на 60 (120 в наших обозначениях), а 200 — 2 умножить на 60 умножить на 60 (7200 в наших обозначениях). Разумеется, они не использовали тот же символ «2»; число два они записывали, повторяя дважды тонкий вертикальный клинообразный символ, как показано на рисунке. Повторяя этот знак нужное число раз, они записывали числа от одного до девяти. Для чисел, превосходящих девять, они добавляли другой символ — повернутый клин, который обозначал число десять; повторяя этот символ соответствующее число раз, они записывали числа двадцать, тридцать, сорок и пятьдесят. Так, например, наше число 42 изображалось четырьмя повернутыми клиньями, за которыми шли два вертикальных клина.

Вавилонские числительные с основанием 60.

По причинам, о которых остается только догадываться, эта система прекращалась на 59. Вавилоняне не рисовали шесть повернутых клиньев, чтобы составить 60. Вместо этого они снова использовали вертикальный узкий клин, который ранее обозначал единицу, но теперь ему придавалось значение «один раз по шестьдесят». Два таких клина означали 120. Но они могли также обозначать и «два». Какое именно значение имелось в виду, требовалось понимать из контекста, а также из расположения символов друг относительно друга. Например, если имелось два вертикальных клина, потом пробел, а потом снова два вертикальных клина, то первая группа означала сто двадцать, а вторая — два, подобно тому как символы «2» в нашей записи 22 означают двадцать и два.

Этот метод распространялся и на значительно большие числа. Вертикальный клин мог означать 1, или 60, или 60×60 = 3600, или 60×60×60 = 216 000, и так далее. Три нижние группы на рисунке обозначают число 60×60 + 3×60 + 12, которое мы бы записали как 3792. Большая проблема здесь состоит в том, что обозначения допускают некоторые неоднозначности. Если перед вашими глазами одни только вертикальные клинья, то означают ли они 2, 60×2 или 60×60×2? Означает ли повернутый клин, за которым идут два вертикальных, 12×60 + 2, или 12×60×60 + 2, или даже 10×60×60 + 2×60? Ко времени Александра Македонского вавилоняне устранили эти неоднозначности за счет использования пары небольших диагональных клиньев для указания пустой позиции при записи числа; фактически они изобрели символ для нуля.