Доказательства не могут висеть в воздухе, и их нельзя до бесконечности возводить к другим, логически им предшествующим. Где-то у них должно быть начало, и начало это по определению состоит из вещей, которые не доказываются и никогда не будут доказываться. Сегодня мы называем эти недоказываемые исходные предположения аксиомами. Для математической теории аксиомы представляют собой правила игры.

Всякий, кто возражает против аксиом, может при желании их изменить; однако результатом таких действий будет совсем другая история. Математика не утверждает, что некоторое утверждение истинно: она утверждает, что если принять ряд предположений, то данное утверждение должно быть их логическим следствием. Отсюда не следует, что аксиомы не подлежат изменениям. Математики могут обсуждать вопрос о том, предпочтительна ли данная система аксиом по сравнению с другими в отношении тех или иных целей, или же вопрос о том, представляет ли данная система какой-нибудь интерес сама по себе. Но эти дискуссии не касаются внутренней логики любой из выбранных систем аксиом и получаемых из них следствий. Они касаются лишь того, какие из этих систем заслуживают внимания, вызывают интерес или представляют собой хорошее развлечение.

Следствия из аксиом Эвклида — длинная, тщательно отобранная цепочка логических построений — простираются необычайно далеко. Например, он доказывает — применяя логику, которая в его дни считалась безукоризненной, — что, коль скоро вы принимаете его аксиомы, вы неизбежно должны заключить следующее.

• Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

• Существует бесконечно много простых чисел.

• Существуют иррациональные числа — такие, которые не выражаются в виде дроби. Примером является квадратный корень из двух.

• Имеется ровно пять правильных тел: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

• Любой угол можно точно разделить на две равные части, используя только циркуль и линейку.

• Можно построить правильные многоугольники с 3, 4, 5, 6 , 8, 10 и 12 сторонами, используя только циркуль и линейку.

Я выразил эти «теоремы», как называются любые обладающие доказательством математические утверждения, на современном языке. Язык Эвклида отличался довольно сильно: Эвклид не работал непосредственно с числами. Все, что мы интерпретируем как свойства чисел, формулируется у него в терминах длин, площадей и объемов.

Содержание «Начал» разбивается на две основные категории. Имеются теоремы, говорящие нам, что некое утверждение истинно. И имеются конструкции, говорящие нам, как что-либо можно сделать.

Типичная и заслуженно знаменитая теорема — это Предложение 47 Книги I «Начал», широко известное как теорема Пифагора. Она гласит, что самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике находится в определенной связи с двумя другими. Но без дополнительных усилий или интерпретации она не дает метода для достижения какой-либо цели.

Теорема Пифагора.

Конструкция, существенная для нашего рассказа, содержится в Предложении 9 из Книги I, где Эвклид решает задачу «бисекции» (деления пополам) углов. Эвклидов метод деления угла пополам прост, но остроумен, с учетом ограниченных возможностей, доступных на той ранней стадии развития. Если задан угол (1), образованный двумя отрезками прямых, поместите циркуль в точку пересечения этих отрезков (2) и проведите окружность, которая пересечет отрезки в двух точках, по одной на каждом (черные точки). Теперь проведите (3) две окружности того же радиуса с центрами в полученных точках. Они пересекутся в двух точках (отмечена только одна из них), после чего через них проводится (4) искомая биссектриса (показана точками).

Как разделить угол пополам циркулем и линейкой.