В переводе с латыни заглавие диссертации Гаусса звучало как «Новое доказательство, что каждую рациональную целую функцию одного переменного можно разложить на вещественные множители первой или второй степени». Если пробиться через профессиональные термины, принятые в то время, то заглавие утверждает, что каждый многочлен (с вещественными коэффициентами) равен произведению выражений, представляющих собой линейные или квадратичные многочлены.

Гаусс использовал слово «вещественные», чтобы ясно показать: он работает в рамках традиционной числовой системы, в которой отрицательные величины не имеют квадратных корней. В наши дни мы бы выразили теорему Гаусса в логически равносильном, но более простом виде: каждый вещественный многочлен степени n имеет n вещественных или комплексных корней. Но Гаусс тщательно подбирал выражения таким образом, чтобы его работа не опиралась на все еще несколько сбивающую с толку систему комплексных чисел. Комплексные корни вещественного многочлена всегда можно собрать в пары, что приводит к вещественным квадратичным множителям, а линейные множители отвечают вещественным корням. Сформулировав заглавие в терминах множителей этих двух типов («множители первой или второй степени»), Гаусс обошел стороной спорный вопрос о комплексных числах.

Одно слово в заглавии не оправданно: «новое» предполагает, что имеются «старые» доказательства. Гаусс дал первое строгое доказательство этой фундаментальной теоремы в алгебре. Но чтобы не обижать прославленных предшественников, утверждавших, что у них имелись доказательства — которые все оказались ошибочными, — Гаусс представил свое выдающееся достижение как всего лишь самое свежее доказательство, опирающееся на новые (то есть правильные) методы.

Эта теорема получила известность как Основная Теорема Алгебры. Гаусс считал ее настолько важной, что дал в общей сложности четыре доказательства, причем последнее — когда ему было 70 лет. Лично он не испытывал никаких колебаний или сомнений по поводу комплексных чисел: они играли значительную роль в его мыслительном процессе, и впоследствии он сформировал собственное объяснение их смысла. Однако он старался избегать разногласий. С годами он стал замалчивать многие из своих оригинальных идей — неэвклидову геометрию, комплексный анализ и строгий подход к комплексным числам, — потому что не хотел вызывать то, что он называл «плачем беотийцев».

Гаусс не ограничивался чистой математикой. В начале 1801 года итальянский священник и астроном Джузеппе Пьяцци открыл новую планету или то, что ему представлялось планетой, — тусклое пятно света в телескопе, от ночи к ночи менявшее свое положение на фоне звезд, что было верным признаком принадлежности тела к Солнечной системе. Планете должным образом дали имя Церера, но на самом деле это оказался астероид — первый открытый астероид в истории. Не успел Пьяцци обнаружить новый мир, как тут же потерял его в блеске Солнца. Он сумел сделать так мало наблюдений, что астрономы не могли вычислить орбиту нового тела и беспокоились, что не найдут его, когда оно снова выйдет из-за Солнца.

Это была задача, достойная Гаусса, и он охотно за нее взялся. Он изобрел улучшенные способы определения орбит исходя из малого числа наблюдений и предсказал, где должна появиться Церера. Когда так и произошло, молва о Гауссе распространилась повсеместно. Путешественник и естествоиспытатель Александр фон Гумбольдт попросил Пьера-Симона де Лапласа — специалиста по небесной механике — назвать величайшего математика в Германии и получил ответ: «Пфафф». Когда недоумевающий Гумбольдт спросил: «А Гаусс?» — Лаплас ответил: «Гаусс — величайший математик в мире».

К сожалению, новоявленное светило отвлекло его от чистой математики на длинные вычисления для расчета орбиты, что можно было считать растратой его неординарных способностей.