Что с цепью? Ее положение, определяемое как С , начинается с 0, достигает единицы, когда в фатальную позицию перемещается следующее звено, потом двойки и так далее. Цепь движется синхронно с зубцами звездочки в центре заднего колеса. У звездочки п зубцов, так что после второго полного оборота заднего колеса Q снова = 0, но С теперь = 2n . В следующий раз С = 3п и так далее. Однако не забывайте, что цепь — не бесконечная прямая линия, а замкнутая петля, имеющая всего l позиций; при С = l , она возвращается к началу цикла, и С снова принимает нулевое значение. Так что при вычислении С следует прибегнуть к арифметике остатков: то есть если в цепи сто звеньев (l = 100), а общее число перемещенных звеньев — 135, то значение С не 135, а 35. Как только вы получаете число, больше или равное l, вы просто последовательно вычитаете l , пока результат не станет меньше l. Математики обозначают эту операцию mod l . Так что последовательные значения С, всякий раз как заднее колесо возвращается в положение Q = 0, равны:

где i = (1, 2, 3, … 8 ∞),

меньше или больше в зависимости от того, насколько близкое к бесконечности время Тьюринг намерен ехать на велосипеде. Через некоторое время Уотерхаузу начинает казаться, что они и впрямь едут бесконечно.

Цепь сваливается, когда велосипед достигает состояния (Q = 0, C = 0). В свете вышесказанного это происходит, когда l (которое просто означает число оборотов, совершенных задним колесом) достигает некоего гипотетического значения, при котором in mod l = 0, или, говоря по-человечески, когда некое число, кратное п (такое, как, например, 2n , 3n , 395n или 109 948 368 443n ), оказывается в то же время кратным l . Вообще-то это может быть любое из так называемых общих кратных, но с практической точки зрения важно только первое — наименьшее общее кратное, или НОК, поскольку именно оно будет достигнуто первым и вызовет падение цепи.

Если, скажем, у звездочки двадцать зубцов (n = 20), а в цепи сто звеньев (l = 100), то после первого поворота колеса мы имеем С = 20, после двух поворотов С = 40, потом 60, 80 и 100. Однако поскольку мы ищем остаток от деления на 100, значение надо изменить на ноль. Таким образом, после пяти оборотов колеса мы достигли состояния (Q = 0, С = 0) и цепь Тьюринга сваливается. За пять оборотов колеса он проезжает всего десять метров, поэтому при таких значениях l и n велосипед практически бесполезен. Разумеется, все это верно лишь в том случае, если Тьюринг такой дурак, чтобы начать движение из состояния спадения цепи. Если же он начинает крутить педали, когда велосипед находится в состоянии (Q = 0, С = 1), то С принимает значения 21, 41, 61, 81, 1, 21, … и так до бесконечности, и цепь не свалится никогда. Однако это вырожденное состояние, где «вырожденное» для математика означает «невыносимо скучное». В теории, если Тьюринг будет всякий раз выставлять нужное состояние, прежде чем бросить велосипед на улице, никто не сможет его украсть — цепь свалится через первые же десять метров.

Если же в цепи Тьюринга сто одно звено (l = 101), то после пяти оборотов мы имеем С = 100, а после шести С = 19, тогда

С = 39, 59, 79, 99, 18, 38, 58, 78, 98, 17, 37, 57, 77, 97, 16, 36, 56, 76, 96, 15, 35, 55, 75, 95, 14, 34, 54, 74, 94, 13, 33, 53, 73, 93, 12, 32, 52, 72, 92, 11, 31, 51, 71, 91, 10, 30, 50, 70, 90, 9, 29, 49, 69, 89, 8, 28, 48, 68, 88, 7, 27, 47, 67, 87, 6, 26, 46, 66, 86, 5, 25, 45, 65, 85, 4, 24, 44, 64, 84, 3, 23, 43, 63, 83, 2, 22, 42, 62, 82, 1, 21, 41, 61, 81, 0.