Через какое-то время тогда еще молодой Пуанкаре был призван в армию, и в течение нескольких последующих месяцев ничто не влияло на ход его размышлений. Однажды, будучи на юге Франции, он садился в автобус, разговаривая с другим солдатом. Он уже поставил ногу на ступеньку — ему удалось точно зафиксировать этот момент, — когда ему в голову пришел ответ на вопрос, какое место эта вновь открытая функция занимает в конвенциональной математике, которой он раньше занимался. Когда я читал об этом опыте Пуанкаре — а это было после описанного факта из моей жизни, — меня поразило, как похожи между собой эти два случая, особенно точностью и остротой переживания. Он поставил ногу на ступеньку и, не прерывая разговора с приятелем, в одно мгновение нашел способ включения этой функции в общую математику.

Дальнейшее чтение биографии объясняет, что произошло после его возвращения из армии.

"Позднее я занялся изучением некоторых проблем арифметики, однако без особых успехов, поскольку не находил никакой связи между этими вопросами и моими предыдущими исследованиями. Раздосадованный неудачей, я решил несколько дней провести у моря и подумать о чем-то другом. Однажды утром, во время прогулки вдоль крутого берега, мне в голову пришла идея, и с той же, что и в предыдущий раз, смелостью, дерзостью и мгновенной уверенностью я понял, что арифметическая трансформация неопределенных квадратных уравнений идентична тому, как это происходит в неевклидовой геометрии."

Став на мгновение психологом, Пуанкаре задал себе тот же вопрос, который мы поставили выше: "Что происходит в сознании? Почему идея приходит в голову именно в этот момент?" Вот ответ, который он предлагает:

"Сначала более всего удивляет появление неожиданного озарения — явный признак происходящей ранее длительной бессознательной работы. Значение такой бессознательной работы для открытий в математике несомненно. Следы этой работы можно обнаружить и в других случаях, хотя и с меньшей очевидностью. Очень часто оказывается, что в работе над сложной проблемой первый подход не самый удачный. Затем я делаю более или менее длительный перерыв, после чего возвращаюсь к работе. В течение первого получаса, как в предыдущем случае, ничего нельзя придумать, пока наконец, в уме не появляется дающая ответ концепция. Можно сказать, что сознательная работа была результативной потому, что прерывалась мгновениями отдыха, который возвращал разуму его силу и свежесть".

Значит ли это, что озарение появляется благодаря снятию напряжения, то есть отдыху? Пуанкаре это отрицает:

"Более правдоподобно то, что этот отдых был наполнен бессознательной работой [результат которой математик узнал позднее, как это было в приведенных мной примерах]; однако само открытие, вместо того, чтобы прийти во время прогулки или путешествия, возникло во время сознательной, хотя и скрытой, работы, которая выполняла роль раздражителя, была чем-то вроде кнута, "подстегивающего" результаты, полученные ранее во время отдыха, но остающиеся в бессознательном до мгновения, когда они приобрели сознательный вид".

Далее следует подробный комментарий практических аспектов "переломной" ситуации: "По поводу обстоятельств этой бессознательной работы мы можем сделать еще одно замечание: эта работа возможна и, главное, плодотворна только тогда, когда ей предшествует, а затем за ней следует период сознательной работы.