|
Четвертое измерение понравилось не только шарлатанам и писателям: о нем принялись рассуждать ученые, и понятие такого пространства формализовали математики. Прошло лишь несколько десятилетий, и мы видим, что математики привычно оперируют не только четырьмя, но и пятью, и шестью, и десятью, и миллионом, и даже бесконечным числом измерений. Приемы и образ мышления, сложившиеся в многомерной геометрии, стали применяться практически во всех отраслях науки – вплоть до биологии и экономики.
Многомерные пространства пока остаются практически неизвестными вне научного сообщества, однако трудно представить себе современное мышление без использования этих методов, какими бы отстраненными они ни казались с точки зрения обыденной жизни. Ученые в попытке объединить две основные теории о законах существования физической вселенной, теорию относительности и квантовую механику, склоняются к предположению, что актуальное для нас пространство скорее имеет девять или десять измерений, а не три, как нам обычно кажется. В свете нового всплеска дискуссий о неевклидовой геометрии трехмерное пространство всё чаще рассматривается как всего лишь одно из многих, а не единственное возможное. Эти изменения стали реальны благодаря тому, что такие понятия, как пространство и измерение, стали интерпретироваться более обобщенно, не противореча привычному пониманию этих слов в быту или СМИ, однако оставляя лазейку и для других возможностей. Для математиков пространство обозначает набор неких объектов с определенным расстоянием между каждыми двумя из них. Воспользовавшись приемом Декарта, предложившего идею координат, мы можем определить число измерений пространства по количеству чисел, необходимых для описания некоего объекта. Принимая за объекты точки и используя обычное понятие расстояния на плоскости или в пространстве, мы находим, что плоскость имеет два измерения, а пространство – три. Но возможны и другие наборы объектов с четырьмя измерениями или более. Предположим, что объекты – сферы в трехмерном пространстве. Нам потребуется четыре числа (x, y, z, r), чтобы описать сферу: три координаты для ее центра (x, y, z) плюс радиус r. Иными словами, пространство всех сфер имеет четыре измерения. Примеры вроде этого показывают, что даже самый естественный математический вопрос легко приводит нас к многомерным пространствам. Конечно, современные математики давно ушли дальше. Абстрактно четырехмерное пространство определяется как множество всех числовых четверок (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>, x<sub>4</sub>). Пространство с n измерениями – для любого целого n – определяется как множество всех наборов (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, …, x<sub>n</sub>) из n чисел. В каком-то смысле это уже знакомая история: интригующее и загадочное понятие многомерности рассыпается до тривиальности – очередной длинной цепочки чисел. Сейчас нам понятна такая точка зрения, но ей потребовалось немало времени, чтобы укрепиться в сознании ученых. Математики отчаянно спорили, едва ли не с пеной у рта, о значении и реальности существования многомерных пространств. Понадобилось почти 100 лет, чтобы эти идеи распространились достаточно широко. Однако использование этих пространств и связанного с ними геометрического воображения оказалось столь эффективным, что возражения иссякли сами собой.
Трех- или четырехмерное пространство
Ирония в том, что современная концепция многомерных пространств была порождена алгеброй, а не геометрией – как следствие неудачной попытки развить трехмерную числовую систему, аналогичную двумерной системе комплексных чисел. Разделение между двумя и тремя измерениями восходит к «Началам» Евклида. Первая часть его книги посвящена геометрии плоскости – двумерному пространству. |
