* * *

О жизни Мадхавы известно мало. Он жил в селении Сангамаграма, и это название по традиции добавляется к его имени, чтобы отличать от других людей с именем Мадхава, таких как астролог Видья Мадхава. В селении был храм, посвященный одноименному богу. Считается, что располагалось это селение возле современного селения браминов Ириньялакуда. Это недалеко от города Кочина в штате Керала – длинной вытянутой области на южной оконечности Индии, зажатой между Аравийским морем на западе и горной цепью Западные Гаты на востоке. Во времена позднего Средневековья Керала был крупным центром математических исследований. Большинство раннеиндийских математиков происходили из более северных мест, но по неведомой причине Керала в какой-то момент перехватил инициативу. Математику в Древней Индии, как правило, рассматривали как часть астрономии, и Мадхава основал Керальскую школу астрономии и математики.

В эту школу входило большое количество необычайно сведущих математиков. Парамешвара – индийский астроном, который использовал наблюдение затмений для проверки точности вычислительных методов того времени. Он оставил после себя по крайней мере 25 рукописей. Келаллур Нилаканта Сомаяджи в 1501 г. написал значительный астрономический трактат «Тантрасамграха», состоящий из 432 стихов на санскрите, объединенных в восемь глав. В частности, он включает поправки Нилаканты к теории движения Меркурия и Венеры великого индийского математика Арьябхаты. Он написал также обширный комментарий «Арьябхатия бхасья» на другой труд Арьябхаты, в котором обсуждаются алгебра, тригонометрия и бесконечные ряды для тригонометрических функций. Естхадева написал «Юктибхасу» – комментарий к «Тантрасамграхе», в который добавлены доказательства ее основных выводов. Некоторые считают этот текст первым трудом по дифференциальному исчислению. Мельпатур Нараяна Бхаттатир – математический лингвист – расширил в труде «Пркриясарвавом» аксиоматическую систему Панини из 3959 правил для санскритской грамматики. Прославился он «Нараяниямой» – похвальной песней Кришне, которая поется в Индии до сих пор.

* * *

Тригонометрия, или использование треугольников для измерения, восходит еще к древним грекам; особенно много ей занимались Гиппарх, Менелай и Птолемей. Есть две основные области применения тригонометрии в деятельности человека: топография и астрономия. (Позже к этому списку добавилась навигация.) Существенно здесь то, что расстояния зачастую трудно (а в случае астрономических тел просто невозможно) измерять непосредственно, зато углы можно измерять везде, где есть прямая видимость. Тригонометрия дает возможность вычислить длины сторон треугольника по его углам, при условии что хотя бы одна сторона известна. В топографии одна тщательно измеренная доступная база и множество углов ведут к появлению точной карты; то же, с некоторыми нюансами, относится и к астрономии.

Греки использовали в своих задачах хорду угла (см. рисунок). Гиппарх в 140 г. до н. э. составил первую таблицу хорд и пользовался ею как в плоской, так и в сферической тригонометрии. Последняя имеет дело с треугольниками, образованными дугами больших кругов на сфере, и это важно в астрономии, поскольку звезды и планеты при наблюдении с Земли кажутся лежащими на небесной сфере – воображаемой сфере, в центре которой находится Земля. Точнее говоря, направления на эти тела соответствуют точкам на любой подобной сфере. Во II в. Птолемей включил таблицы хорд в свой «Альмагест», и его результаты широко использовались на протяжении следующих 1200 лет.

Математики Древней Индии, опираясь на работы греков, добились больших успехов в тригонометрии.