В Германии во времена Пуанкаре мы видим Давида Гильберта, чья деятельность разделяется на пять отдельных периодов. Во-первых, он вслед за Булем занимался исследованием «инвариантов» – алгебраических выражений, которые сохраняют форму, несмотря на изменение координат. Затем Гильберт последовательно изложил основные положения теории чисел. После этого он вновь заглянул в Евклидовы аксиомы геометрии, нашел их недостаточными и добавил еще несколько, чтобы закрыть логические прорехи. Далее подался в математическую логику и запустил программу, целью которой было доказать, что под математику можно подвести аксиоматическую базу и что она будет непротиворечивой (то есть никакие логические рассуждения не приведут к противоречию) и полной (то есть любое утверждение в рамках этой системы может быть либо доказано, либо опровергнуто). Наконец, он обратился к математической физике, едва не обогнав Эйнштейна на пути к общей теории относительности, и ввел понятие Гильбертова пространства, центральное в квантовой механике.

Третья и последняя наша женщина-математик – Эмми Нётер, жившая в те времена, когда большинство облеченных властью мужчин все еще с неодобрением смотрело на участие женщин в академической деятельности. Начинала она, как и Гильберт, с теории инвариантов и позже много работала с ним бок о бок. Гильберт не раз со всей доступной энергией пытался пробить стеклянную стену непонимания и обеспечить Нётер постоянную академическую должность, но добился лишь частичного успеха. Нётер оставила яркий след в абстрактной алгебре, первой исследовав сегодняшние аксиоматические структуры, такие как группы, кольца и поля. Кроме того, она доказала важную теорему о симметрии законов физики по отношению к сохраняемым величинам, таким как энергия.

К этому моменту наше повествование перейдет уже в XX в. Чтобы показать, что великолепные математические способности присущи не только образованным классам западного мира, мы познакомимся с жизнью и деятельностью индийского гения-самоучки Сринивасы Рамануджана, выросшего в бедности. Состязаться с ним в способности интуитивно находить странные, но верные формулы могли разве что такие гиганты, как Эйлер и Карл Якоби, и то не факт. Представления Рамануджана о том, что такое доказательство, были довольно туманными, зато он умел находить такие формулы, которые никому другому и в голову бы не пришли. Ученые до сих пор роются в его бумагах и записных книжках в поисках вдохновения и свежего взгляда на вещи.

Два математика со склонностью к философии вернут нас к основам этой науки и к ее связям с вычислениями. Один из этих ученых – Курт Гёдель; он доказал, что любая система аксиом для арифметики обязательно будет неполна и неразрешима, и тем самым разрушил программу Гильберта, целью которой было доказать обратное. Второй – Алан Тьюринг, чье исследование возможностей программируемого компьютера позволило получить более простое и естественное доказательство этих результатов. Прославился он, конечно же, своей работой по разгадыванию нацистских шифров, которой он занимался в Блетчли-парке во время Второй мировой войны. Кроме того, он предложил известный тест Тьюринга для проверки искусственного интеллекта, а после войны исследовал закономерности в структурах живой природы.