Вывод из всего этого состоит в том, что алгебра классов подчиняется тем же законам, что и обычная алгебра чисел, и еще странному новому закону x² = x. В этот момент Буля осеняет очень умная мысль. Единственными числами, подчиняющимися этому закону, являются 0 = 0² и 1 = 1². Он пишет:

Тогда давайте представим себе алгебру, в которой символы x, y, z и т. п. принимают безразлично значения 0 и 1, и только их. Законы, аксиомы и процессы такой алгебры будут идентичны во всем своем объеме с законами, аксиомами и процессами алгебры логики. Одна только разница в интерпретации будет разделять их.

Это загадочное заявление можно интерпретировать как относящееся к функциям f(z, y, z, …), определенным на некотором списке символов, принимающих только значения 0 (ложь) и 1 (истина). Мы сегодня называем их Булевыми функциями. Упоминания заслуживает одна связанная с ними приятная теорема. Если f(x) – функция одного логического аргумента, то Буль доказывает, что

f(x) = f(1) x + f(0) (1 – x).

Более общее уравнение того же типа верно для любого числа аргументов, что приводит к систематическим методам обращения с логическими высказываниями.

Вооружившись этим принципом и другими общими результатами, Буль прорабатывает многочисленные примеры и показывает, как его рассуждения применимы к темам, которые заинтересовали бы читателей того времени. Среди этих тем и «Проявление бытия Бога и его атрибутов» (Demonstration of the being and attributes of God) Сэмюела Кларка – книга, состоящая из серии теорем, доказанных с использованием наблюдаемых фактов и различных «гипотетических принципов, значимость и универсальность которых полагается принимать a priori», и «Этика» Бенедикта Спинозы. При этом целью Буля было показать в точности, какие допущения использованы в выводах, сделанных этими авторами. В этом, возможно, проявились и квазиунитарианские воззрения самого Буля.

* * *

Прежде всякий анализ логики должен был быть словесным, с небольшим количеством символьных обозначений, просто для памяти. Аристотель разбирал силлогизмы – рассуждения примерно следующего содержания:

Все люди смертны.

Сократ – человек.

Следовательно, Сократ смертен –

с вариантами использования слов «все» и «некоторые». Средневековые ученые подразделяли силлогизмы на 24 типа; каждый из этих типов имел мнемоническое название. К примеру, Bocardo относится к силлогизмам вида:

Некоторые свиньи имеют закрученные хвостики.

Все свиньи – млекопитающие.

Следовательно, некоторые млекопитающие имеют закрученные хвостики.

Здесь на формат силлогизма «bOcArdO» указывают гласные; O = «некоторые», A = «все». По такому же принципу названы и другие типы силлогизмов. Но никакой системы записи нотации для логики до Буля никто не предлагал. Обратите внимание: если заменить «некоторые» на «все», получив при этом:

Все свиньи имеют закрученные хвостики.

Некоторые свиньи – млекопитающие.

Следовательно, все млекопитающие имеют закрученные хвостики –

новый силлогизм получится неверным. С другой стороны:

Все свиньи – млекопитающие.

Все млекопитающие имеют закрученные хвостики.

Следовательно, все свиньи имеют закрученные хвостики –

вполне корректное с точки зрения логики рассуждение, хотя в реальности второе из входящих в него утверждений неверно. Мало того, по случайному стечению обстоятельств заключительное утверждение верно – разве что найдется где-нибудь особая порода свиней.