Большинство его зрелых математических работ касается либо тех отделов математики, прикладной характер которых совершено ясен, либо тех или иных приложений математики к механическим или физическим проблемам. Так, заинтересовавшись вопросом об основах механики, Ампер разрабатывает новый метод доказательства так называемого «принципа или начала возможных перемещений».

«Принцип возможных перемещений» является одним из основных принципов теоретической механики. Как известно, механика распадается на статику, изучающую законы равновесия тел, кинематику, изучающую геометрические свойства движения, и динамику, изучающую движение тел в связи с силами, которые его производят. Существует целый ряд общих принципов механики, которые об'единяют эти отделы в некотором общем выражении. Рассматривая перемещение какого-либо тела, мы видим, что оно определяется не только действующими на тело силами, но и условиями, ограничивающими свободу его движения. Эти условия, ограничивающие свободу движения данного тела, называются обычно связями. Таким образом, перемещение тела определится действующими на него силами и существующими связями. Значение принципа возможных перемещений и состоит как раз в том, что оно устанавливает общий метод для вывода уравнений движения тел (диференциальных уравнений) при какой угодно системе связей. Это колоссально расширяет круг могущих быть рассмотренными задач. Математики и механики приложили много труда, чтобы доказать этот принцип. Однако эти доказательства, которые строили Лаплас, Лагранж и другие ученые, всегда основывались на различных гипотезах о природе сил (так называемых реакций), вызываемых связями. Надо сказать, что в гипотезах всегда имеется известный элемент произвола. Поэтому этот принцип надо рассматривать как принцип, который находит свое обоснование в том, что выводимые из него уравнения перемещений или равновесия тел всегда подтверждаются на опыте. Принцип возможных перемещений был отчетливо сформулирован в конце XVIII века, а в начале XIX века многие ученые работали над тем, чтобы дать его доказательства. Одно из таких доказательств было предложено Ампером. Несмотря на свое остроумие, доказательство Ампера имеет ныне только исторический интерес. Однако весь комплекс работ Ампера по проблемам механики значительно обогатил эту науку.

Ампер принимает развитую его другом Френелем волновую теорию света. Но Френель не дал полного математического анализа основного понятия своей теории — волновой поверхности. Ампер берется за эту задачу и дает стройное, хотя и несколько сложное решение ее.

Продолжая размышлять над проблемами механики, курс которой Ампер читал в Политехнической школе, он пишет работу об одной из проблем того отдела механики, который изучает вращение твердого тела вокруг какой-либо его оси.

Механика в целом распадается на три отдела в зависимости от того, движение каких тел изучается. Соответственно этому возникает: механика твердого тела, механика жидкостей — гидромеханика, и аэромеханика. Отдел теоретической механики, изучающий движение, связанное с упругостью тел, — колебания и волны, — разросся ввиду своего значения в самостоятельный раздел.