Из числа разнообразных математических методов наибольшее значение для решения физических задач имели диференциальные уравнения в частных производных. Собственно говоря, математическая физика исчерпывалась пятью-шестью типами таких уравнений, но решение их равносильно решению той или иной физической проблемы и представляет значительные математические трудности. Над преодолением этих трудностей бились многие крупнейшие математики. Ампер также представил Французской академии большую работу на эту тему. В этой работе он дал целый ряд методов и теорем, которые вошли составным элементом в теорию диференциальных уравнений в частных производных.

Уже перечисленного достаточно, чтобы увидеть, насколько солидны заслуги Ампера в области математики. Но кроме этих работ, он опубликовал еще несколько математических исследований, и в электродинамике дал неувядаемый образец применения математики к физическим проблемам.

Мы не имеем возможности излагать здесь содержание чисто математических работ Ампера. Они относятся к весьма отвлеченным и тонким отраслям математического анализа. Отметим лишь, что они имели весьма большое значение в развитии высшей математики.

Именно в качестве математика Ампер был выбран в члены Французского института — этого высшего ученого учреждения Франции. До 1789 года во Франции было пять отдельных академий. Конвент вынужден был упразднить их «как учреждения аристократического характера, позорящие науки и ученых».

В 1795 году Директория учредила Национальный институт наук и искусств, который должен был «совершенствовать науки и искусства». Пять отделений Института получили уже при Людовике XVIII название академий. Выборы новых членов производились по освобождении мест за смертью членов академии.

В то время по разделу математических наук членами Института являлись: Лагранж, Лаплас, Лежандр, Боссю и ряд других.

В 1813 году умер Лагранж. 11 апреля 1813 года Ампер пишет Бредену: «Мне сообщили о смерти Лагранжа… Итак, вот вакантное место в Институте… Мне нужно будет выступить в качестве соискателя… Нужно будет сделать целых шестьдесят визитов… Я буду день и ночь работать над мемуаром. Скажи об этом Балланшу и Депре, но больше никому, чтобы мне не оказаться лишний раз посмешищем».

Двадцать третьего апреля он уезжает в инспекторское турне, а 30 апреля узнает о полном провале своей кандидатуры. Он получил всего один голос, остальные голоса достались конкурировавшему с ним Пуансо. Эту неудачу Ампера можно об'яснить не только тем, что заслуги Пуансо перед наукой в то время были, может быть, более значительны, чем заслуги Ампера, но также и причинами политического порядка.

Наполеон, этот дальновидный деспот, по-своему покровительствовал наукам. Еще во время Директории его избирают членом Института. Во время Египетского похода он гордо отмечает в заголовке своих прокламаций: «Бонапарт, главнокомандующий, член Института», и позже в статьях прихода своего цивильного листа Наполеон на первом месте помещает: «Жалованье его величества императора и короля в качестве члена Института — 1500 франков». Прекрасно отдавая себе отчет в роли и значении науки в развити капиталистического производства, Наполеон умело использует ее и направляет в духе своей экономической политики. Стендаль справедливо замечает, что «в ту эпоху какой-нибудь аптекарский ученик, копошась в своих пилюлях и пробирках в задней комнате магазина, думал про себя, скатывая пилюли и фильтруя жидкости, что если бы он сделал какое-либо открытие, то мог бы стать графом с 50 тысячами ливров дохода».

В 1813 году двадцать три члена Института заседают в сенате.