Важнейший вклад Евклидовых «Начал» сводился к передовому логическому методу: во-первых, Евклид объяснил все термины введением точных определений, гарантирующих понимание всех слов и символов. Во-вторых, он прояснил все понятия, предложив для этого прозрачные аксиомы или постулаты (эти два термина взаимозаменяемы), и отказался от применения неустановленных выводов или допущений. И наконец, он выводил логические следствия всей системы лишь с использованием правил логики, примененной к аксиомам и ранее доказанным теоремам.

Вот зануда и привереда, а? Зачем уж так настаивать на доказательстве малейшего утверждения? Математика — вертикальное сооружение, которое, в отличие от архитектурной постройки, рухнет, если хоть один математический кирпичик окажется битым. Допусти в системе невиннейшую погрешность — и пиши пропало, в ней уже ничему нельзя доверять. По сути, теорема логики утверждает: если в систему вкралась хоть одна ложная теорема — неважно, о чем она, — этого будет достаточно для доказательства, что 1 = 2. Говорят, однажды некий скептик припер к стенке логика Бертрана Расселла, желая возразить против этой уничтожающей теоремы (хотя в итоге говорил об обратном). «Вот что, — рявкнул усомнившийся, — допустим, один равно два, докажите, что вы — Папа Римский». Расселл, по свидетельствам, задумался на миг, после чего ответил: «Папа и я — двое, следовательно, Папа и я — одно».

Доказательство каждого утверждения означает, среди прочего, еще и то, что интуицию, хоть она и ценный поводырь, следует проверять на пороге доказательства. Фраза «это интуитивно понятно» — неподходящий шаг для доказательства. Слишком уж мы падки на всякую очевидность. Представим, что мы разматываем клубок шерсти вдоль экватора Земли, все 25 000 миль. А теперь представим то же самое, но в футе над экватором. Насколько больше ниток нам потребуется для этого? На 500 футов больше? Или на 5000? Упростим задачу. Представим теперь, что раскатываем один клубок вдоль поверхности Солнца, а второй — в футе над его поверхностью. К какому клубку нужно добавить больше ниток — к тому, что мы разматываем в футе от Земли или в футе от Солнца? Большинству из нас интуиция подсказывает «вокруг Солнца», однако ответ на самом деле таков: одинаковое количество, равное 2 футам, т. е. примерно 6 футов 3 дюйма.

Давным-давно была такая телевизионная программа «Поспорим». Участника помещали напротив трех подиумов, скрытых занавесами. На одном подиуме находился какой-нибудь ценный объект — автомашина, к примеру, а на двух других — какая-нибудь ерунда, утешительный приз. Допустим, участник выбирал второй подиум. Ведущий затем открывал один из двух оставшихся занавесов, скажем — третий. За ним, положим, находится утешительный приз, следовательно, настоящий приз — либо за первым занавесом, либо за вторым, который участник выбрал изначально. Ведущий далее спрашивает участника, станет ли он менять свой выбор — т. е. выберет ли теперь первый занавес. Вы бы изменили решение? Интуитивно кажется, что вероятность выигрыша — пятьдесят на пятьдесят, хоть так, хоть эдак. Оно было бы так, если бы у нас не было никаких предварительных вводных, но они у нас есть: предыдущий выбор и действия ведущего в этой связи.