В современной теории чисел диофантовы уравнения занимают центральное место. Знаменитый пример — «последняя теорема» Ферма, которая утверждает, что два полных куба (или две степени с более высоким показателем) в сумме не могут дать ту же степень. С квадратами такое делается совсем просто и восходит к Пифагору, например, 3² + 4² = 5² или 5² + 12² = 13². Но с кубами, четвертыми степенями, пятыми или любыми высшими степенями такое сделать не удается. Примерно в 1650 году Пьер де Ферма небрежно набросал эту гипотезу (без доказательства — несмотря на фигурирующее в названии его имя, он этой теоремы не доказал) на полях своего личного экземпляра Arithmetica. Понадобилось почти 350 лет, пока Эндрю Уайлс — специалист по теории чисел, родившийся в Британии, а ныне живущий в Америке, — доказал, что Ферма был прав.

Историческая традиция в математике иногда оказывается очень долгой.

Алгебра реально появилась на математической сцене в 830 году, когда основное действие переместилось из греческого мира в арабский. В тот год астроном Мохаммед ибн Муса аль-Хваризми написал книгу, озаглавленную «Аль-Джабр в'аль Мукабала», что переводится примерно как «восстановление и упрощение». Слова эти относятся к стандартным способам обращаться с уравнениями для приведения их к виду, удобному для решения. Из «аль-джабр» происходит современное слово «алгебра». Первый латинский перевод двенадцатого столетия появился под заглавием Ludus Algebrae et Almucgrabalaeque.

Книга аль-Хваризми несет на себе следы влияния предшественников — вавилонян и греков, а также основывается на идеях, появившихся около 600 года у Брахмагупты в Индии. Там объясняется, как решать линейные и квадратные уравнения. Непосредственные последователи аль-Хваризми поняли, как решать и некоторые специальные виды кубических уравнений. К числу этих последователей принадлежали Сабит ибн Корра — врач, астроном и философ, который жил в Багдаде и был при этом язычником, — а также египтянин по имени аль-Хасан ибн аль-Хайсам, которого в позднейшей западной литературе, как правило, называют Альхазен. Но более всех знаменит Омар Хайям.

Полное имя Омара было Гияс аль-Дин Абу'ль-Фатх Омар ибн Ибрахим аль-Нишапури аль-Хайями. Слово «аль-Хайями» буквально переводится как «палаточник», что, по мнению ряда ученых, должно указывать на род занятий его отца Ибрахима. Омар родился в Персии в 1047 году и провел большую часть своей деятельной жизни в Нишапуре. Теперь этот город можно найти на карте рядом с городом Мешхед в провинции Хоросан на северо-востоке Ирана, вблизи границы с Туркменистаном.

Легенда гласит, что в молодости Омар ушел из дома изучать ислам и Коран под руководством прославленного религиозного деятеля Имама Моваффака, жившего в Нишапуре. Там он свел дружбу с двумя другими учениками — Хасаном Сабахом и Низамом аль-Мульком. Друзья поклялись, что если кто-то из них станет богатым и знаменитым — что вполне могло случиться с теми, кто обучался у Моваффака, — то он поделится своим богатством и властью с двумя другими.

Юноши закончили обучение. Год проходил за годом; соглашение оставалось в силе. Низам отправился в Кабул. Омар, не обладавший серьезными политическими амбициями, провел некоторое время в качестве палаточника (другое возможное объяснение его имени аль-Хайями). Страстью его стали науки и математика, и он отдавал им большую часть своего свободного времени. Затем вернулся Низам, который добился для себя должности в правительстве и стал управляющим делами султана Альп Арслана в его резиденции в Нишапуре.

Поскольку Низам достиг богатства и славы, Омар и Хасан напомнили ему о клятве. Низам испросил у султана дозволения помочь своим друзьям и, когда оно было получено, исполнил клятву.