Математически обобщение очень просто выражается формулой

а = f/m.

Второй закон движения (Ньютон сформулировал также первый и третий законы движения) можно применять ко всем движениям любого вида. И вы легко себе можете представить, что при выводе этого соотношения, связывающего ускорение, силу и массу, потребовались более тщательные наблюдения и более тонкая проницательность, чем при выводе обобщения «все, что подбрасывается, должно падать».

В этой книге мы коснемся группы наиболее фундаментальных из известных науке обобщений, которые включают в себя нечто противоположное движению — неизменность.

Столкновение бильярдных шаров

Сознательно или бессознательно мы доверчиво полагаемся на некоторые события, имеющие место потому, что определенные свойства окружающего мира мы считаем неизменными.

Например, знаток бильярда не без основания уверен в исходе своих ударов, если он точно ударяет шар своим кием (что следует ожидать, так как он хороший игрок), и в момент удара не происходит внезапного землетрясения или другой подобной неожиданности. Что делает его таким уверенным? Откуда он знает, что шары будут ложиться точно так, как он ожидает? Конечно, главная причина — опыт.

Поведение движущихся бильярдных шаров так регулярно, что после наблюдения нескольких сот или тысяч ударов игрок становится уверенным в своих ударах. Тем не менее вы можете всю жизнь играть на скачках или на бирже и никогда не сумеете точно предсказать, что случится в следующий момент, с той определенностью, с ка кой это сделает бильярдный игрок. Очевидно, движущиеся бильярдные шары представляют собой систему более простую, чем скачущие лошади или цены на бирже, и по-этому из поведения шаров легче сделать полезное обобщение.

Вообразите бильярдный шар, движущийся по поверхности стола самым простым образом, без каких-либо вращений, с постоянной скоростью 10 см/сек. Предположим далее, что этот бильярдный шар налетает на неподвижный, который тотчас начинает двигаться, а первый останавливается. При этом, если столкновение было центральным, второй бильярдный шар движется со скоростью 10 см/сек точно в том же направлении, в каком двигался раньше первый. Многочисленными наблюдениями установлено, что при таком столкновении сумма скоростей шаров до и после соударения одинакова (на самом деле имеется небольшое замедление из-за трения шара о поверхность стола и сопротивления окружающего воздуха но этими эффектами пока можно пренебречь). Короче, общая скорость остается неизменной, в то время как другие факторы, например положение и скорость каждого шара в отдельности, меняются. Казалось бы, общая скорость «сохраняется».

Значение такого обобщения в том, что оно исключает все виды случайностей из области возможного. Вы можете быть уверены, что ни один шар не будет двигаться быстрее определенного предела. Более того, если в такой системе из двух шаров известна скорость одного шара тем самым уже предопределена скорость другого. Но будет ли общая скорость «сохраняться» во всех случаях или только в том, который я только что описал?

Что будет, например, если шар ударит не покоящийся, а движущийся шар? Предположим, что один бильярдный шар движется со скоростью 10 см/сек, скажем, на север, другой — со скоростью 10 см/сек на юг, и оба они сталкиваются «в лоб». Мы полагаем, что шары в этих условиях отскочат друг от друга. Но что произойдет, если шары сделать из воска или замазки, так что при соударении они сплющатся и прилипнут друг к другу? Остановятся ли шары в точке столкновения и какими в этом случае будут их скорости?

Конечно, если скорость исчезает, вряд ли можно говорить, что она сохраняется, Чтобы говорить о сохранении скорости, необходимо, оказывается, рассматривать не только ее величину, но и направление движения предмета. Предположим, что скорость движения шара на север равна +10 см/сек, а скорость движения на юг -10 см/сек.