Он родился 19 сентября 1759 года. Службу начал в гвардии. Однако военная карьера не прельщала князя, и вскоре он перешел на гражданскую службу — вначале был избран заседателем 1-го департамента Верхнего земского суда (1780 год), а затем попал в Сенатскую канцелярию, которой руководил генерал-прокурор князь А. А. Вяземский. Здесь он служил под началом А. И. Васильева (впоследствии графа и министра финансов). К 35 годам Алексей Куракин имел уже чин тайного советника и был награжден орденами Св. Анны и Св. Владимира 2-й степени.
Подлинный взлет карьеры А. Б. Куракина начался при императоре Павле I, который благоволил к нему и, в особенности, к его старшему брату — Александру Куракину. Оба они были щедро осыпаны милостями монарха: Александр Куракин стал вице-канцлером, а Алексей Куракин 4 декабря 1796 года занял посты генерал-прокурора Сената, главного директора Ассигнационного банка и присутствующего в Совете при высочайшем дворе. Он получил чин действительного тайного советника, а 19 декабря 1797 года — орден Св. Андрея Первозванного. Ему были пожалованы деревни с несколькими тысячами душ и богатые рыбные промыслы на Волге. К высоким должностям Алексея Борисовича вскоре добавились новые — министр департамента удельных имений и канцлер российских орденов. По его инициативе был учрежден государственный вспомогательный банк для дворян, главным попечителем которого становится он сам.
В царствование Павла I прокуратура переживала невиданный подъем. Без генерал-прокурора не решалось, по существу, ни одно важное дело. Он занимался финансовыми, военными, административными, полицейскими, судебными делами. От него зависело назначение и увольнение многих сановников, раздача им наград и пожалований.
Князь Куракин всегда поддерживал своих подчиненных и в переписке с губернаторами предлагал им все «требования прокуроров с надлежащим уважением принимать».
Одна из основных обязанностей Куракина, как и его предшественников, заключалась в наблюдении за Сенатскими решениями. Разбираясь с делами в Сенате, генерал-прокурор не мог не заметить значительного количества накопившихся нерешенных дел как в департаментах (свыше 11 тысяч уголовных и гражданских дел), так и в общем собрании (360). Для того времени это были внушительные цифры. Куракин представил свои предложения Павлу I — об учреждении трех дополнительных временных департаментов для рассмотрения неотложных дел и о перераспределении нагрузки между существующими департаментами Сената, с которыми император согласился. Наряду с этим князь Куракин занимался рассмотрением многих финансовых и административных вопросов, проблемами управления заводами, фабриками, промыслами и т. д.
Генерал-прокурору Куракину приходилось выполнять все указания и распоряжения императора, даже самые сумасбродные. Особенно бурное негодование Павла I вызывали случаи нарушения военными лицами и чиновниками установленных правил ношения форменной одежды. По этому поводу Куракин вынужден был рассылать по губерниям строгие предписания наместникам о неустанном наблюдении за ношением «новоустановленной формы».
Триумф братьев Куракиных вследствие переменчивого нрава императора продолжался недолго. Стрелка весов их удачи вскоре резко качнулась в другую сторону. 8 августа 1798 года Алексей Куракин был смещен с должности генерал-прокурора и назначен лишь Сенатором, а затем и вовсе отправлен в отставку. Его брат Александр Куракин также уступил место вице-канцлера В. П. Кочубею.
Алексей Куракин возобновил службу при Александре I, который вновь вернул его в Сенаторское кресло, а 4 февраля 1802 года назначил генерал-губернатором Малороссии. Там он пробыл шесть лет, оставив по себе благодарную память.
В ноябре 1807 года А. Б. Куракин встал во главе Министерства внутренних дел, но занимал этот пост непродолжительное время. Министерство, существовавшее всего лишь пять лет, только набирало силу. Оно занималось самыми разнообразными вопросами: снабжением населения продовольствием, устройством фабрик и заводов, медицинским обеспечением, борьбой с эпидемиями, почтовыми делами и т. |