На заре математики Евклид говорил о вещах, которые казались сами собой разумеющимися. В своем главном труде, в "Началах", он привел пять постулатов, пять аксиом и 35 определений — от определения точки ("то, что не имеет частей") до определения параллельных прямых (это прямые, "которые, будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются"). Кроме того, Евклид объявляет (аксиома 1), что "равные одному и тому же равны и между собой".

Пять постулатов Евклида гласят:

1.От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

2.Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3.Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

4.Все прямые углы равны между собой.

5.Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то эти прямые, продолженные неограниченно, встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Строго говоря, даже в этих пяти утверждениях слишком многое принимается как данность. "Мне говорили, что Евклид все доказывал, и я был очень разочарован тем, что он начал с аксиом, — вспоминал Бертран Рассел о своем первом знакомстве с "Началами" в детстве. — Я отказывался принимать их на веру, пока брат не назовет мне вескую причину для этого. Он сказал, что если я этого не сделаю, мы не сможем двигаться дальше. Поскольку учиться я хотел, то скрепя сердце согласился".

Сначала первые четыре постулата Евклида принимались на веру им самим, его современниками и многими поколениями математиков. Они описывают пространство, которое мы можем не просто вообразить, но даже увидеть воочию. Их можно проверить эмпирически, нацарапав линию чем-нибудь острым, проведя окружность циркулем или натянув кусок веревки. Даже если длина сегмента окружности или ее радиус будут такими, что человеческий глаз не сможет их охватить, свойства их не изменятся. Это было очевидно и не нуждалось в доказательствах.

Пятый постулат Евклида — единственный, для которого требуется воображение: если две прямые не являются параллельными третьей, они когда-нибудь пересекутся. Верно и обратное: две прямые, параллельные третьей, никогда не пересекаются, какой бы длины они ни были. Этот постулат интерпретируют и так: в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Это не так уж очевидно, да и проверить это нельзя. А раз это нельзя проверить, то нужно доказать. Столетиями математики трудились над этой задачей, но решить ее не сумели.

В XVIII веке были предприняты две попытки доказать пятый постулат Евклида от противного. Идея заключалась в выдвижении противоположного пятому постулату утверждения и доведении его до абсурда. Однако прямые линии вели себя не так, как от них ждали, и в результате математики получили воображаемую внутренне непротиворечивую картину, которая при этом противоречила пятому постулату. Оба математика сочли это нелепым и оставили свои попытки.

Около века спустя трое математиков (россиянин Николай Иванович Лобачевский, венгр Янош Бойяи и немец Иоганн Карл Фридрих Гаусс) пришли к выводу о возможности существования иной, неевклидовой геометрии, в которой соблюдаются четыре первых постулата, а пятый — нет. Но что значит — возможность существования? Она существует до тех пор, пока математики не найдут в ней просчеты или внутренние противоречия. Но можем ли мы воочию увидеть ее, как видим линию, сегмент или окружность? Невооруженным взглядом мы, как бы ни старались, увидим как раз евклидову геометрию. Так как мы поймем, что правильно?

Великий американский математик Рихард Курант (его именем назван математический институт в Нью-Йоркском университете) и его соавтор Герберт Роббинс (профессор

Рутгерского университета) считали, что обе геометрии оказываются практически одинаково пригодными для употребления и для наших целей вполне годится евклидова модель: "Так как работать с евклидовой геометрией гораздо легче, чем с гиперболической, то мы и пользуемся ею, покуда рассматриваются небольшие (порядка нескольких миллионов миль!) расстояния.