Геометрические образы упрощают доказательство теорем. Критики утверждают, что эти новомодные геометрии относятся к пространствам, которые никогда не существовали. Алгебраисты возражают, что алгебра для n переменных существует практически наверняка, и в любом случае всякий прием, позволяющий сделать новые открытия в столь многих областях математики, заслуживает серьезного и пристального интереса. Джордж Сальмон писал: «Я уже полностью обсудил эту проблему (решения некоторой системы уравнений), когда даны три уравнения с тремя переменными. Теперь перед нами стоит вопрос о схожей задаче в пространстве с p измерениями, и мы склонны считать это чисто алгебраическим вопросом, независимым от каких-либо геометрических соображений. Но нам придется местами прибегнуть к геометрическому языку… потому что так легче понять, как применить к системе p уравнений процесс, аналогичный тому, который применили к системе из трех уравнений».

Реальное пространство

Существуют ли многомерные пространства? Конечно, ответ зависит от того, что мы подразумеваем под словом «существуют», но большинство людей не склонны вникать в такие тонкости, особенно если им что-то не нравится. Проблема стала очевидной в 1869 г. В знаменитом обращении к Британской ассоциации содействия развитию наук, позже напечатанном под заголовком «Мольба к математикам», Джеймс Джозеф Сильвестр указал, что важнейшим условием развития математики является обобщение. Ученый утверждал, что здесь главное – допустимость, а не прямое подтверждение физического опыта. Он говорил далее, что при наличии определенного навыка можно легко представить себе четыре измерения, а значит, пространство с четырьмя измерениями допустимо.

Это так разъярило ученого-шекспироведа Клемента Инглби, что он вдохновил великого философа Иммануила Канта доказать, будто трехмерность – неотъемлемая и бесспорная характеристика пространства, абсолютно отвергая доводы Сильвестра. Природа реального пространства не является предметом математического спора. В то время подавляющее большинство английских математиков соглашалось с Инглби. Но ряд ученых с континента не были с ним согласны. Грассман утверждал: «Теоремы “Учения о протяженности” не просто служат переводом геометрических результатов на язык абстракции; они обладают гораздо более важным обобщающим значением, ибо в то время, когда обычная геометрия остается узницей трех [физических] измерений, абстрактная наука не имеет никаких пределов».

Сильвестр обозначил свою позицию: «Немало ученых предпочли бы считать обобщенное понятие пространства всего лишь замаскированной формой алгебраической абстракции, но то же можно сказать о нашем представлении бесконечности, или о невозможных линиях, или о линиях, образующих угол, равный 0, в геометрии – понятиях, в пользе и необходимости которых уже никто не сомневается. Доктор Сальмон в своем расширенном изложении теории Мишеля Шаля о характеристиках поверхностей, мистер Клиффорд в вопросах о вероятности и я сам в теории о разбиении числа, а также в моей статье о барицентрической проекции ощущали и получали доказательства практической пользы четырехмерного пространства, как если бы оно было допустимо».

Многомерное пространство

В итоге в споре победил Сильвестр. Современные математики допускают существование явления, если оно логически непротиворечиво. Это может противоречить физическому опыту, что не имеет отношения к математической сущности. Тогда многомерные пространства ничуть не менее реальны, чем привычное нам пространство с тремя измерениями, поскольку мы можем без труда дать ему формальное определение.