Тем временем описания хаотичных систем то и дело появлялись в научной литературе – и снова были сильно недооценены научным сообществом. Самое известное из них дал в 1963 г. метеоролог Эдвард Лоренц. Он создал модель атмосферной конвекции, аппроксимировав очень сложные уравнения для этого явления с помощью более простых с тремя переменными. Решая их численно на компьютере, он открыл, что решение колебалось нерегулярным, почти случайным образом. Он также открыл, что если те же самые уравнения решались с использованием исходных значений переменных, отличавшихся друг от друга незначительно, разница в решениях увеличивалась, пока они не становились абсолютно разными. Его описание для этого явления в последующих лекциях открыло очень популярную в настоящее время тему – эффект бабочки, когда взмаха крыльев бабочки оказалось достаточно, чтобы через месяц из-за него разразился ураган на другой стороне планеты.

Аттрактор Лоренца

Этот жутковатый сценарий вполне возможен, хотя и с малой вероятностью. Предположим, вы могли бы повлиять на погоду дважды: один раз с бабочкой и второй – без нее. Тогда вы действительно получите значительные различия, и вполне возможно, что в первом случае это будет ураган, а во втором обойдется без него. Понятно, что этот эффект был получен при компьютерном моделировании уравнений, обычно используемых для предсказаний погоды, где он способен создать большие проблемы. Но было бы ошибкой считать, что бабочка и есть причина урагана. В реальном мире погоду формирует не одна бабочка, а статистические особенности триллионов бабочек – не считая иных неуловимых факторов. И только все вместе они определяют, когда и где зародится очередной ураган и куда он двинется.

Используя методы топологии, Смэйл, Арнольд и их коллеги доказали, что странные решения, смущавшие Пуанкаре, оказываются неизбежным следствием странных аттракторов в уравнениях. Странный аттрактор – запутанное движение, к которому система неизбежно приходит. Его можно наглядно представить в виде очертаний в пространстве состояний (которое отражает изменение состояний системы), образованном переменными, которые описывают систему. Аттрактор Лоренца, описывающий уравнения Лоренца, немного похож на маску Одинокого рейнджера, только каждая из ее кажущихся поверхностей имеет бесконечно много слоев.

Сама структура аттракторов объясняет любопытную особенность хаотичных систем: они предсказуемы в кратком периоде (в отличие, например, от бросков костей), но непредсказуемы в длительном. Почему невозможно несколько краткосрочных предсказаний объединить вместе для создания долгосрочного? Потому что точность, с которой мы можем описать хаотичную систему, размывается со временем, и чем дальше, тем быстрее, и возникает такой горизонт для предсказаний, за который мы не в состоянии заглянуть. Тем не менее система остается на том же странном аттракторе – хотя ее траектория вдоль аттрактора существенно меняется.

Это изменяет наш взгляд на эффект бабочки. Насекомые могут только подталкивать погоду по одному и тому же странному аттрактору, и это всегда вполне правдоподобная погода. Она лишь слегка отличается от того, что могло бы быть без бабочек.

Давид Рюэль и Флорис Такенс очень быстро нашли потенциальное применение странным аттракторам в физике: обескураживающая проблема турбулентных течений. Стандартные уравнения потока жидкости, известные как уравнения Навье – Стокса, являются дифференциальными в частных производных и как таковые детерминированы. Обычный тип потока жидкости, с ламинарным (струйчатым) течением, – гладкий и постоянный, точно такой, как вы могли бы ожидать от детерминированной теории.

МЭРИ ЛЮСИ КАРТРАЙТ 1900–1998

Когда Мэри Картрайт в 1923 г. закончила Оксфордский университет, она стала пятой женщиной, получившей здесь диплом математика.