|
д. – степени двойки, где каждое число вдвое больше предыдущего (именно поэтому карта памяти для вашей цифровой камеры имеет нелепую на первый взгляд емкость в 256 мегабайт). Для компьютера число 100 будет разбито по степеням двойки как 64 + 32 + 4 и сохранено в виде 1100100.
Глава 4. Соблазнение неизвестным
Коварный икс Использование символов в математике выходит далеко за пределы обозначения цифр. Это становится ясно даже при поверхностном знакомстве с любым математическим текстом. Первый важнейший шаг к сложным символьным выкладкам, за пределы изображения цифр, был совершен в области решения задач. Многие древние тексты, вплоть до периода Старого Вавилона, рассказывают читателям о некоем неизвестном количестве, а потом предлагают его определить. Стандартная форма задачи (в литературном изложении) на вавилонских табличках такова: «Я нашел камень, но не знаю его веса». Предоставив дополнительную информацию – «когда я добавил второй камень в половину веса первого, их общий вес составил 15 джин», – ученику предлагают вычислить вес исходного камня.
Алгебра
Такие задачи дали толчок к развитию области знаний, которую мы называем алгеброй: где числа представлены буквами. Неизвестная величина по традиции называется x, а сопутствующие условия излагаются в виде математических формул. Ученикам предлагается с помощью стандартных методов вычислить значение x по формулам. Например, упомянутую выше вавилонскую задачу мы запишем в виде уравнения x + <sup>1</sup>/<sub>2</sub> x = 15, и мы должны узнать, как вычислить x = 10. На школьном уровне алгебра – ветвь математики, в которой неизвестные числа обозначены буквами, арифметические действия – специальными символами, а главная задача – вывести неизвестные из уравнений. Типовая задача школьной алгебры – поиск x, заданного в уравнении x<sup>2</sup> + 2x = 120. Это квадратное уравнение имеет одно положительное решение, x = 10. Здесь x<sup>2</sup> + 2x = 10<sup>2</sup> + 2 × 10 = 100 + 20 = 120. Также оно имеет одно отрицательное решение, x = –12. Тогда x<sup>2</sup> + 2x = (–12)<sup>2</sup> + 2 × (–12) = 144 – 24 = 120. Древние принимали положительные результаты, но не отрицательные. Мы признаем оба варианта: во многих задачах отрицательные числа имеют реальное значение и соответствуют физически возможным ответам. Вдобавок математика становится проще, если принять их существование. В продвинутой математике использование символов для обозначения чисел сводится к ничтожной части этой области знаний, отражающей ее первые шаги. Алгебра рассказывает о свойствах выражений и уравнений с использованием буквенных символов, и речь уже о структуре и форме, а не только о числе. Этот более широкий взгляд развился в период, когда математики пошли дальше простой алгебры школьного уровня. Вместо того чтобы пытаться решать конкретные уравнения, они предпочли всмотреться в глубинные структуры процесса решения. Как развивалась алгебра? Сначала это были задачи и методы. Со временем она приобрела символическую систему обозначений, которую мы считаем ее главным достоинством. Было много систем обозначений, но постепенно одна вытеснила конкурентов. Само название «алгебра» тоже возникло в процессе, и оно имеет арабские корни (об этом говорит начальное «аль», арабский эквивалент артикля the, что и указывает на происхождение).
Табличка из Старого Вавилона с клинописной записью алгебро-геометрической задачи
Уравнения
То, что мы сейчас называем решением уравнений (когда неизвестная величина должна быть найдена на основе имеющейся информации), почти так же старо, как и арифметика. |
