|
«Аль-джабр» означает «восполнение равных количеств к обеим сторонам уравнения». Так, мы начинаем:
x – 3 = 5 и выводим, что x = 8. Фактически мы делаем свой вывод, прибавляя по 3 к каждой из сторон. «Аль-мукабала» имеет два смысла. Вот его особый смысл: «вычитание равных количеств из обеих сторон уравнения», чем мы и занимаемся, переходя от x + 3 = 5 к ответу x = 2. Но есть и более общий смысл: «восстановление», т. е. приведение подобных членов в обеих частях уравнения. Аль-Хорезми дает общие правила для шести видов уравнений, с помощью которых можно решить все линейные и квадратные уравнения. В его работах представлены идеи элементарной алгебры, но без использования символов.
Кубические уравнения
Итак, вавилоняне умели решать квадратные уравнения, и их метод был по существу таким же, какому нас учат сегодня. Алгебраически самое сложное в нем – квадратный корень, и присутствует несколько стандартных арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление). Ожидаемым следующим шагом становятся кубические уравнения, включающие неизвестное в кубе. Их мы пишем так: аx<sup>3</sup> + bx<sup>2</sup> + cx + d = 0, где x – неизвестное, а коэффициенты a, b и c – известные. Но до появления идеи отрицательных чисел математики классифицировали кубические уравнения по нескольким отдельным видам, так что, например, выражения x<sup>3</sup> + 3x = 7 и x<sup>3</sup> – 3x = 7 расценивались как совершенно разные, и для них существовали свои методы решения.
ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ Третья часть «Книги абака» содержит задачу, автором которой, скорее всего, был сам Леонардо: «Некто поместил пару кроликов в место, со всех сторон окруженное стеною. Со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов; кролики никогда не умирают. Сколько пар кроликов будет через год?» Эта каверзная задача приводит к любопытной последовательности чисел, получившей широкую известность: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … и т. д. Каждое число – сумма двух предыдущих. Их стали называть числами Фибоначчи и они часто встречаются как в математике, так и в мире природы. Например, у многих цветов число лепестков совпадает с числами Фибоначчи. Это следствие особенностей роста растений и геометрии примордиев – зачатков в виде мельчайших скоплений клеток в точке роста, развивающихся в отдельные лепестки. Условия задачи Фибоначчи для воображаемой популяции кроликов нельзя воспроизвести физически, но более общее правило (модель Лесли) используется и по сей день для некоторых задач динамики популяций. Их приходится решать, чтобы предсказать популяционные колебания определенного вида животных с учетом спаривания и смертности.
ЧТО АЛГЕБРА ДАЛА ИМ Многие главы «Книги абака» содержат алгебраические задачи, отвечающие интересам купечества. Одна, не только практическая, выглядит так: «Некто купил 30 птиц – попугаев, голубей и воробьев. Попугай стоит 3 серебряных монеты, голубь 2, а воробей <sup>1</sup>/<sub>2</sub>. Он заплатил 30 серебряных монет. Сколько птиц каждого вида он купил?» Если x обозначает число попугаев, y – число голубей, а z – число воробьев, то в современной системе мы составим уравнения: x + y + z = 30, 3x + 2y + <sup>1</sup>/<sub>2</sub> z = 30. В мире рациональных чисел эти уравнения будут иметь много решений, но в самом вопросе подразумевается дополнительное условие: x, y, z – целые числа. |
