|
Обычная точка на плоскости, на расстоянии x по горизонтальной оси и y по вертикальной, обозначается парой чисел (x, y). Эти числа и есть координаты точки.
Любое уравнение, содержащее x и y, накладывает ограничения на возможные точки. Например, если оно выглядит как x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = 1, точка (x, y) должна находиться на расстоянии 1 от начальной, согласно теореме Пифагора. Такие точки образуют окружность. Мы скажем, что x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = 1 – уравнение для этой окружности. Любое уравнение соответствует какой-то кривой на плоскости, а любая кривая соответствует уравнению.
Декартова система координат
Декартовы координаты алгебраически тесно связаны с коническими сечениями – кривыми в геометрии, которые древние греки строили как сечения двойного конуса. Алгебраически получается, что конические сечения являются следующим видом простейших кривых линий после прямых. Прямая линия описывается уравнением ax + by + c = 0 с константами a, b и c. Коническое сечение описывается квадратным уравнением ax<sup>2</sup> + bxy + cy<sup>2</sup> + dx + ey + f = 0 с константами a, b, c, d, e, f. Декарт отмечал этот факт, но не смог его доказать. Но он разобрал случай, основанный на теореме, которая приписывалась Паппу и давала характеристики коническим сечениям. Он сумел доказать, что там результат описывается квадратным уравнением. Он пошел дальше и обратился к уравнениям более высокого порядка, описывая более сложные кривые, чем те, с которыми имела дело классическая греческая геометрия. Типичным примером можно считать декартов лист, задаваемый уравнением: x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> – 3axy = 0, которое описывает петлю с двумя концами, уходящими в бесконечность. Пожалуй, главный вклад концепции координат проявляется именно в этом: Декарт смог уйти от греческого взгляда на кривые как на объекты, построенные с помощью особых геометрических приспособлений, и увидел в них визуальное представление любой алгебраической формулы. Как заметил в 1707 г. Исаак Ньютон, «современный подход, но намного более глубокий [чем у греков], позволяет любую линию в геометрии выразить в виде уравнения». Более поздние ученые изобрели множество вариантов декартовой системы координат. В письме от 1643 г. Ферма рассматривает идеи Декарта и развивает их для трехмерного пространства. Он упоминает такие поверхности, как эллипсоид и параболоид, описываемые квадратными уравнениями с тремя переменными x, y, z. Важным вкладом было введение Якобом Бернулли полярных координат в 1691 г. Чтобы определять точки на плоскости, он использовал угол θ и расстояние r вместо пары осей. Теперь эти координаты стали обозначать как (r, θ).
Декартов лист
И снова уравнения соответствуют определенным кривым. Но теперь простые уравнения могут описать кривые, которые были чрезвычайно сложными в декартовых координатах. Например, r = θ описывает спираль, ту самую, что уже известна нам как архимедова.
Полярные координаты
Функции
Важнейшее применение координат в математике – метод графического представления функций. Функция – не число, но отношение между элементами, когда изменение в одном влечет перемены в другом. Оно часто выражается в формуле, которая приписывает каждому числу, x (возможно, с предварительными ограничениями), другое число, f(x). Например, функция квадратного корня определяется правилом f(x) = √х, т. е. извлечением квадратного корня из данного числа. Это отношение требует, чтобы x было положительным. Квадратная функция определяется уравнением f(x) = x<sup>2</sup>, на этот раз нет ограничения для х. |
