|
Примерно в 1620 г. Ферма, пытаясь понять геометрию кривых линий, начал по сохранившимся до его времени крупицам сведений восстанавливать утраченный труд, названный когда-то Аполлонием «Плоские места». Закончив это, Ферма продолжил собственные изыскания, описанные им в 1629 г., но изданные только через 50 лет в книге «Введение к теории плоских и пространственных мест». Здесь он подробно рассмотрел преимущества преобразования геометрических понятий в алгебраические термины.
Свойства фокусов эллипса
Геометрическое место точек (ГМТ) определяет геометрическую фигуру как множество точек на плоскости или в пространстве, обладающих некоторым свойством. Например, мы можем искать ГМТ, сумма расстояний от которых до двух заданных точек есть величина постоянная. Это эллипс с двумя фокусами. Это свойство эллипса было известно еще древним грекам.
Подход Ферма к координатам
Ферма же обратил внимание на принцип: если условия, налагаемые на точку, можно выразить в виде одного уравнения с двумя неизвестными, соответствующее ГМТ будет кривой – или прямой линией, которую мы будем рассматривать как определенный тип кривой во избежание ненужных расхождений. Он иллюстрировал этот принцип схемой, на которой две неизвестных величины A и E представлены как расстояния в двух разных направлениях. Затем он составил несколько отдельных уравнений, связующих А и Е, и объяснил, какие кривые они представляют. Например, если А<sup>2</sup> = 1 + Е<sup>2</sup>, то ГМТ является гиперболой. Ферма ввел косоугольную систему координат на плоскости (косвенно подразумевая, что этот угол не обязательно должен быть прямым). Переменные А и Е – две координаты, которые мы называем x и y, для любой точки относительно данных осей. Итак, принцип Ферма убедительно утверждает, что любое уравнение с двумя переменными представляет кривую, и его примеры показывают нам, какое уравнение представляет какую кривую из перечня основных кривых, составленного греками.
Декарт
Современное представление о системе координат сложилось в трудах Декарта. В повседневной жизни мы сталкиваемся с двумерными и трехмерными пространствами, и нам нужна вся сила воображения, чтобы представить себе что-то более сложное. Наша зрительная система отображает внешний мир как двумерную картинку для каждого глаза – подобно той, что мы видим на экране телевизора. Мелкие различия в изображениях от каждого глаза наш мозг комбинирует и интерпретирует в ощущение глубины изображения, и мы получаем возможность воспринимать окружающий мир как трехмерное пространство. Ключом к представлению о многомерных пространствах является идея системы координат, представленная Декартом в виде приложения «Геометрия» к его труду «Рассуждение о методе». Его идея состояла в том, что геометрия на плоскости может быть представлена в алгебраических выражениях. Его подход аналогичен методу Ферма. Выберите точку на плоскости и назовите ее начальной. Проведите две оси – линии, проходящие через начальную точку и пересекающиеся под прямым углом. Обозначьте одну ось как x, другую – y. Тогда любая точка P плоскости будет определяться парой расстояний (x, y), которые говорят нам о том, как далеко находится эта точка от начала, если измерять соответствующие перпендикуляры от точки P до осей x и y. Например, на карте x может обозначать расстояние к востоку от начальной точки (с отрицательными числами, представляющими направление на запад), а y – расстояние к северу от исходной точки (с отрицательными показателями, представляющими направление на юг).
РЕНЕ ДЕКАРТ 1596–1650 Декарт начал изучать математику в 1618 г., став учеником голландского ученого Исаака Бекмана. |
