|
По схеме эпициклов Птолемея центр одной окружности вращается по другой окружности. Эта окружность, в свою очередь, может вращаться вокруг следующей, и т. д. Геометрия равномерного движения по окружности естественно подчиняется тригонометрическим функциям, и впоследствии астрономы использовали это свойство для вычисления путей небесных тел.
Схема эпицикла. Планета P равномерно вращается вокруг точки D, которая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг точки С
Идея росла, как снежный ком. Джон Спайделл вычислил логарифмы тригонометрических функций (таких как log sin x) и опубликовал свои «Новые логарифмы» в 1619 г. Швейцарский мастер-часовщик Йост Бюрги опубликовал свой труд о логарифмах в 1620 г. и вполне мог сам развить эту идею еще в 1588 г., задолго до Непера. Но история математики зиждется на том, что ученые успели опубликовать – буквально сделать доступным для публики, – а идеи, остававшиеся под спудом, не могли повлиять на развитие науки в целом. В итоге первенство (возможно, по праву) отдается смельчакам, которые запечатлели свои открытия в печатных трудах или по крайней мере в активной переписке (исключение составляют люди, издававшие идеи других как собственные, не имея на то права. Как правило, они остаются за кулисами).
Число e
В тесной связи с предложенной Непером версией логарифмов всегда рассматривается одно из важнейших чисел в математике, известное нам под обозначением e. Его величина приблизительно равна 2,71828. Оно получится, если мы попытаемся перейти от логарифмов к геометрической прогрессии со знаменателем чуть больше 1. Это приведет к выражению (1 + <sup>1</sup>/<sub>n</sub>)<sup>n</sup>, где n – очень большое целое число, и чем оно больше, тем ближе это выражение к одному определенному числу, которое мы обозначаем е.
Эта формула предполагает, что у логарифма существует натуральное основание, причем это не 10 или 2, а именно е. Натуральный логарифм числа x – это число у, которое удовлетворяет условию x = e<sup>y</sup>. Сегодня математики натуральный логарифм записывают так: y = ln x. Иногда математики обозначают основание е натурального логарифма: y = log<sub>e</sub> x, но в школьном курсе математики его обычно опускают, поскольку для высшей математики и науки важен именно натуральный логарифм. Десятичные логарифмы наиболее удобны для вычислений в десятичной системе, но в фундаментальной математике важнее натуральные. Выражение e<sup>x</sup> называется экспонентой x, и его по праву можно назвать одним из основополагающих понятий математики. Число e – одно из тех необычных чисел, что так любят математики, и играет огромную роль. Другим таким числом, несомненно, является π. Это верхушка айсберга – потому что есть еще много других знаменитых чисел. Их также по праву можно считать самыми важными и особенными, встречающимися повсюду на бескрайнем математическом ландшафте.
Что бы мы без них делали?
Наверное, невозможно переоценить долг человечества перед неведомыми предками, изобретшими логарифмы и тригонометрию и потратившими годы на составление численных таблиц. Их усилия обеспечили качественно иной взгляд на мир, не говоря уже о путешествиях по миру и торговле, получивших методы точной навигации и картографии. На тригонометрических вычислениях основана вся геодезия. Даже сейчас, когда геодезисты пользуются лазерными приборами и производят вычисления с помощью сверхскоростных электронных чипов, концепции построения самих лазеров и чипов уходят корнями в ту самую тригонометрию, что не давала покоя математикам древних Индии и Аравии. Логарифмы позволили умножать любые числа быстро и точно. Двадцать лет, потраченных на составление численных таблиц одним математиком, сэкономили десятки тысяч рабочих человеко-лет его последователям, и те смогли полностью посвятить свое время трудоемкому научному анализу. |
