Гипотеза ABC

В 1983 г. Ричард Мейсон обратил внимание на то, что один случай Великой теоремы Ферма никем никогда не рассматривался: речь идет о первых степенях. Иными словами, об уравнении a + b = c.

На первый взгляд, эта мысль абсолютно бессмысленна. Чтобы решить это уравнение для любой из трех переменных, выразив ее через две остальные, не нужны большие познания в алгебре. К примеру, a = c — b. Однако есть еще контекст, который меняет все. Мейсон понял, что, если задать в отношении a, b и c правильные вопросы, все становится намного глубже. Результатом этой необыкновенной идеи стала новая гипотеза теории чисел с далекоидущими последствиями. Будучи доказанной, она помогла бы математикам разобраться с множеством нерешенных на данный момент задач и найти более качественные и простые доказательства некоторых крупнейших теорем теории чисел. Речь идет о гипотезе ABC, в пользу которой говорит огромное количество численных свидетельств. Основана она на свободной аналогии между целыми числами и многочленами.

Евклид и Диофант знали рецепт для пифагоровых троек, который мы сегодня записываем в виде формулы (см. главу 6). Можно ли применить ту же уловку к другим уравнениям? В 1851 г. Жозеф Лиувилль доказал, что для уравнения Ферма для степеней 3 и выше подобной формулы не существует. Мейсон применил аналогичные рассуждения к более простому уравнению

a(x) + b(x) = c(x)

для трех многочленов. Вроде бы это чрезмерно, ведь все решения можно найти при помощи элементарной алгебры. Тем не менее главный результат элегантен и далеко не очевиден: если каждый многочлен имеет делитель, который представляет собой полный квадрат, куб или более высокую степень, то уравнение не имеет решений.

Теоремы о многочленах часто имеют аналоги среди теорем о целых числах. В частности, неприводимые многочлены соответствуют простым числам. Естественный аналог теоремы Мейсона о многочленах в области целых чисел выглядит так. Пусть a + b = c, где a, b и c — целые числа без общих делителей. Тогда простых делителей у каждого из чисел a, b и c меньше, чем различных простых делителей у числа abc. К несчастью, простые примеры показывают, что это неправда. В 1985 г. Дэвид Массер и Джозеф Эстерле модифицировали это утверждение и предложили вариант гипотезы, который не противоречит никаким известным примерам. Очень возможно, что их гипотеза ABC на данный момент является крупнейшей открытой проблемой в математике. Если бы завтра кто-то доказал гипотезу ABC, многие глубокие и сложные теоремы, доказанные в последние десятилетия с громадными усилиями, получили бы новые простые доказательства. Еще одним следствием стала бы гипотеза Маршалла Холла: разность между любым полным кубом и любым полным квадратом должна быть достаточно большой. Наконец, еще одно потенциальное приложение гипотезы ABC — задача Брокара, первая в этой главе. В 1993 г. Мариус Оверхольт доказал, что если гипотеза ABC верна, то уравнение Брокара имеет конечное число решений.

Одно из самых интересных следствий гипотезы ABC связано с гипотезой Морделла. Фальтингс доказал это достаточно хитрым способом, но его результат был бы более убедительным, если бы нам известна была еще одна вещь: предел размера решений. Тогда существовал бы алгоритм поиска их всех. В 1991 г. Ноам Элкис показал, что частный случай гипотезы ABC, в которой различные постоянные ограничены, подразумевает такое улучшение теоремы Фальтингса. Лоран Море-Бэйи показал, что обратное верно. Из достаточно серьезных ограничений на величину решений всего одного диофантова уравнения, y² = x⁵ — x, следует полная гипотеза ABC.