Мне выпало счастье осуществить в моей взрослой жизни то, что было мечтой моего детства. Я знаю, что это редкая удача, но если во взрослом состоянии вам представляется возможность заниматься чем-то таким, что значит для вас так много, то это занятие служит для вас наградой более высокой, чем что-либо еще. Доказав Великую теорему Ферма, я не мог не ощутить чувство потери, но в то же время меня охватило чувство бескрайней свободы. На протяжении восьми лет я был настолько поглощен ее доказательством, что не мог думать ни о чем другом. Я думал о теореме Ферма все время — с утра до ночи. Для размышлений об одном и том же — срок очень долгий. Теперь эта одиссея подошла к концу. Мой разум обрел покой».

Приложения

Приложение 1. Доказательство теоремы Пифагора

Цель доказательства — убедиться в том, что теорема Пифагора верна для всех прямоугольных треугольников. Треугольник, изображенный на рисунке слева, может быть любым прямоугольным треугольником, так как длины его сторон не указаны, а обозначены буквами x, y и z. Справа из четырех одинаковых прямоугольных треугольников и наклоненного квадрата составлен квадрат больших размеров. Площадь большего квадрата — ключ к доказательству.

Площадь большого квадрата можно вычислить двумя способами.

1-й способ. Измеряем площадь большого квадрата как единой фигуры. Длина каждой стороны равна x+y. Следовательно, площадь большого квадрата равна (x+y)².

2-й способ. Измеряем площадь каждого элемента большого квадрата. Площадь каждого треугольника равна xy/2. Площадь наклонного квадрата равна z². Следовательно, площадь большого квадрата равна 4 × (площадь каждого треугольника) + (площадь наклонного квадрата) = 4·xy/2 + z². 1-й и 2-й способы приводят к двум различным выражениям. Оба выражения должны быть равны, так как они представляют различные записи одной и той же площади. Следовательно,

(x + y)² = 4·xy/2 + z².

Раскроем скобки и упростим полученные выражения:

x² + 2xy + y² = 2xy + z².

Члены 2xy, стоящие в левой и правой частях равенства, взаимно уничтожаются, и мы получаем

x² + y² = z².

Это и есть теорема Пифагора!

Приведенное доказательство остается в силе для любых прямоугольных треугольников. Длины сторон треугольника в нашем доказательстве обозначены буквами x, y и z, которые могут быть длинами сторон любого прямоугольного треугольника.

Приложение 2. Доказательство Евклида иррациональности числа √2

Цель Евклида состояла в доказательстве того, что число √2 не представимо в виде дроби. Поскольку Евклид использовал доказательство от противного, первый шаг состоял в предположении, что верно противоположное утверждение, т. е. что число √2 представимо в виде некоторой неизвестной дроби. Запишем эту дробь в виде p/q, где p и q — два целых числа.

Прежде чем приступать к самому доказательству, необходимо напомнить некоторые основные свойства дробей и четных чисел.

1) Если взять любое число и умножить его на 2, то произведение должно быть четным. По существу, это определение четного числа.

2) Если квадрат некоторого числа четен, то и само число должно быть четным.

3) Наконец, дроби можно сокращать: 16/24 это то же самое число, что и 8/12. Чтобы убедиться в этом разделите числитель и знаменатель дроби 16/24 на общий множитель 2. Кроме того, число 8/12 это же самое, что и 4/6, а 4/6 это же самое, что и 2/3. Дробь 2/3 не подлежит дальнейшему сокращению, так как 2 и 3 не имеют общих множителей.