Добавив к обеим частям равенства по a²–2ab:

a² + a²– 2ab = ab + a²– 2ab.

Это равенство можно упростить:

2(a² — ab) = a² — ab.

Наконец, сокращая это выражение на a²-ab получаем требуемое равенство 2=1.

Исходное утверждение казалось совершенно безвредным (и на самом деле оно не таит в себе ничего плохого), но, производя шаг за шагом преобразования равенства a=b, мы допустили маленькую, но роковую ошибку, которая и привела нас к противоречию. Эту ошибку мы допустили, производя последнее преобразование, когда разделили обе части равенства на a²-ab. Из исходного утверждения нам известно, что a=b. Следовательно, деление на a²-ab эквивалентно делению на нуль.

Такого рода тонкая ошибка типична для просчетов, допущенных многими соискателями премии Вольфскеля.

Приложение 8. Аксиомы арифметики

Величественное здание арифметики опирается на следующие аксиомы.

1. Для любых чисел m и n

m + n = n + m и mn = nm.

2. Для любых чисел m, n и k

(m + n) + k = m + (n + k) и (mn)k = m(nk).

3. Для любых чисел m, n и k

m(n + k) = mn + mk.

4. Существует число 0, такое, что для любого числа n

n + 0 = n.

5. Существует число 1, такое, что для любого числа n

n·1 = n.

6. Для любого числа n существует другое число k, такое, что

n + k = 0.

7. Для любых чисел m, n и k

если k ≠ 0 и kn = km, то m = n.

Исходя из этих аксиом, можно доказать другие правила арифметики. Например, используя только приведенные выше аксиомы и не прибегая ни к каким другим допущениям, мы можем строго доказать правило, которое кажется очевидным и заключается в следующем:

если m + k = n + k, то m = n.

Прежде всего, пусть

m + k = n + k.

Аксиома 6 гарантирует, что существует число l, такое, что k+l=0, поэтому

(m + k) + l = (n + k) + l.

Но по аксиоме 2

m + (k + l) = n + (k + l).

Принимая во внимание, что k+l=0, получаем:

m + 0 = n + 0.

Аксиома 4 позволяет нам утверждать то, что требовалось доказать, а именно:

m = n.

Приложение 9. Теория игр и труэль

Однажды утром м-р Блэк, м-р Грей и м-р Уайт вздумали решить конфликт труэлью на пистолетах. Стрелять условились до тех пор, пока в живых не останется только один из участников. М-р Блэк стрелял хуже всех. В цель он попадал в среднем лишь один раз из трех. М-р Уайт стрелял лучше всех — без промаха. Чтобы уравнять шансы участников труэли, м-ру Блэку разрешено стрелять первым, за ним должен стрелять м-р Грей (если он останется в живых), затем мог стрелять м-р Уайт (если он еще будет жив). Далее все начиналось снова, и так до тех пор, пока в живых не останется только один из участников труэли. Вопрос: в кого должен выстрелить м-р Блэк, производя свой первый выстрел?

Проанализируем выбор цели, который предстоит сделать мистеру Блэку. Во-первых, если мистер Блэк стреляет в мистера Грея и попадает в цель, то право следующего выстрела перейдет к мистеру Уайту. У мистера Уайта останется единственный противник — мистер Блэк, а поскольку мистер Уайт стреляет без промаха, то мистер Блэк может считать себя покойником.

Для мистера Блэка лучше, если он прицелится в мистера Уайта. Если мистер Блэк попадает в цель, то право следующего выстрела перейдет к мистеру Грею. Мистер Грей попадает в цель только в двух случаях из трех, поэтому у мистера Блэка есть шанс остаться в живых, произвести ответный выстрел в мистера Грея и, возможно, выиграть труэль.