|
Полезность эффективных теорий обусловлена тем обстоятельством, что появление в уравнениях каких-либо более сложных членов, например содержащих произведения полей или их производных, повышает его размерность (то есть его зависимость от более высоких степеней масс). Поэтому размерность всех членов уравнений, за исключением конечного их числа, будет выражаться в единицах масс в степенях выше четвертой. Значит, коэффициенты при этих более сложных слагаемых должны быть пропорциональны некоторой характерной массе в отрицательной степени, чтобы сохранить одинаковую размерность всех членов уравнений. Если эффективная теория поля выводится из некоторой фундаментальной (или, по крайней мере, более фундаментальной) теории отбрасыванием («исключением путем интегрирования») высокоэнергетических степеней свободы, тогда масса, которая характеризует константу связи в членах более высокой размерности, будет по порядку величины соответствовать массовому масштабу фундаментальной теории. Если эффективная теория поля используется для анализа систем с энергиями много меньше этого массового масштаба, она позволяет получить систему приближений, учитывающую не столько степени малых констант связи вроде заряда электрона, сколько степени энергии в отношении к гораздо большему характерному массовому масштабу фундаментальной теории.
Учет взаимодействий выше четвертой степени массы означает, что эффективные теории поля не могут быть перенормированы подобно квантовой электродинамике. И поэтому при выходе за пределы первого приближения мы снова сталкиваемся с бесконечными рядами по энергиям, и эти бесконечности не получится исключить переопределением, или перенормировкой, конечного числа параметров теории. Однако эти бесконечности могут быть исключены переопределением бесконечного числа параметров, действительно присутствующих в теории. Для каждого порядка аппроксимации приходится иметь дело только с конечным числом свободных параметров и только с конечным числом бесконечных сумм, от бесконечных значений которых можно избавиться перенормировкой свободных параметров. Впервые подобным образом эффективные теории поля в физике частиц были использованы для исследования низкоэнергетических пионов, фундаментальный массовый масштаб которых приближается к 1000 МэВ. Такие эффективные теории также были распространены и на процессы, охватывающие фиксированное количество нейтронов и протонов. Симметрии эффективных теорий поля пионов, нейтронов и протонов, несмотря на спонтанное нарушение, не допускают осуществления любых типов даже условно перенормируемых взаимодействий (то есть перенормируемых в том же смысле, что и в квантовой электродинамике). Аналогично инвариантность квантовой теории гравитации по отношению к обобщенным преобразованиям пространственно-временных координат не допускает осуществления любых, даже условно перенормируемых, гравитационных взаимодействий. Теория квантовой гравитации тоже рассматривалась как эффективная теория поля. Проблема с этой теорией состоит не в бесконечностях, она обусловлена тем фактом, что теория теряет свою предсказательную силу при достаточно высоких, так называемых планковских, энергиях около 10<sup>21</sup> МэВ, при которых гравитация становится сильным взаимодействием. Как ни странно, но старая теория бета-распада Ферми могла бы стать частью эффективной теории поля, в которой взаимодействие между протонами, нейтронами, электронами и нейтрино описывалось бы первым членом в сумме ряда по степеням энергии, поделенной на массу порядка 10 000 МэВ. Развивая эту теорию далее, мы бы учли бесконечные интегралы, значение которых можно сделать конечным с помощью перенормировки небольшого количества новых взаимодействий. Оказалось, что теория, лежащая в основе теории Ферми, была построена раньше, чем стало понятно, как использовать теорию Ферми в рамках эффективной теории поля. Фундаментальной теорией здесь выступает, конечно, стандартная теория электрослабого взаимодействия, которая позволяет использовать приближения для энергий, намного превышающих 10 000 МэВ, вероятно вплоть до энергий порядка 10<sup>18</sup> МэВ. |
