Таким образом, τ(1) = 1, τ(2) = –24, τ(3) = 252 и т. д. Эта формула исходит из глубокой и красивой работы XIX в. по эллиптическим функциям. Рамануджану τ(n) нужна была для решения задачи о степенях делителей n, и ему необходимо было знать, насколько она велика. Он доказал, что ее величина не превосходит n⁷, но предположил, что этот результат можно улучшить до n^11/2. В качестве гипотезы он предложил две формулы:

τ(mn) = τ(m) τ(n),

если m и n не имеют общих делителей;

τ(pⁿ⁺¹) = τ(p) τ(pⁿ) – p¹¹τ (pⁿ^–1) для всех простых p.

С этими формулами несложно вычислить τ(n) для любого n. Луи Морделл доказал их в 1919 г., но гипотеза Рамануджана о порядке величины τ(n) пока сопротивляется всем усилиям.

В 1947 г. Андре Вейль, пересматривая старые результаты Гаусса, понял, что их можно применить к целым решениям различных уравнений. Следуя интуиции и воспользовавшись забавными аналогиями с топологией, он сформулировал серию технически довольно сложных результатов – гипотезы Вейля. Эти гипотезы заняли центральное место в алгебраической геометрии. В 1974 г. Пьер Делинь доказал их, а годом позже он и Ясутака Ихара вывели из них гипотезу Рамануджана. Тот факт, что для обоснования его невинной на первый взгляд гипотезы потребовался такой крупный и новаторский прорыв, указывает на масштаб и глубину интуиции Рамануджана.

Среди самых загадочных изобретений Рамануджана – «ложные тета-функции», которые он описал в последнем письме к Харди в 1920 г.; подробности были позже найдены в его потерянном блокноте. Якоби ввел тета-функции как альтернативный подход к эллиптическим функциям. Они представляют собой бесконечные ряды, которые преобразуются очень простым способом, если к переменной добавляются подходящие константы, а эллиптические функции можно строить путем деления одной тета-функции на другую. Рамануджан определил несколько аналогичных рядов и заявил большое число формул с их использованием. В то время вся идея представлялась всего лишь упражнением в обращении со сложными рядами, не связанным ни с чем больше в математике. Сегодня мы понимаем, что дело обстоит совсем не так. Эти ряды имеют важные связи с теорией модулярных форм, которые возникают в теории чисел и также связаны с эллиптическими функциями.

Аналогичная, но самостоятельная концепция – тета-функция Рамануджана – недавно оказалась полезной в теории струн – самой популярной попытке физиков объединить теорию относительности и квантовую механику.

* * *

Поскольку Рамануджан работал в такой необычной манере и получал верные результаты нестрогими методами, иногда возникают предположения, что мыслительные процессы Рамануджана были особыми или необычными. По рассказам, Рамануджан и сам говорил, что богиня Намагири являлась к нему во сне и сообщала формулы. Однако он вполне мог говорить так, просто чтобы избежать неловких обсуждений. По словам его жены С. Янаки Аммал Рамануджан, у него «никогда не было времени пойти в храм, потому что он был постоянно одержим математикой». Харди писал, что, по его мнению, «все математики мыслят, по существу, одинаково и Рамануджан не был исключением». При этом, правда, он добавлял: «Он сочетал в себе мощь обобщения, чувство формы и способность к быстрой модификации гипотез, которые зачастую просто поражали».

Рамануджан не был величайшим математиком своего времени, не был и самым плодовитым; но его репутация зиждется не только на его замечательной судьбе и трогательной истории «бедный мальчик выходит в люди». Идеи Рамануджана были достаточно влиятельными при его жизни, а теперь, с годами, они лишь набирают влияние.