Его «Введение в изучение плоских и пространственных мест» 1629 г. стало новаторским; в нем впервые использовались координаты, позволившие связать геометрию и алгебру. Обычно эту идею приписывают Декарту и его эссе «Геометрия» 1637 г. (приложение к «Рассуждению о методе»), но на самом деле намеки на нее можно найти в гораздо более ранних произведениях, вплоть до древнегреческих. Смысл идеи заключается в использовании двух координатных осей для представления любой точки на плоскости посредством единственной пары чисел (x, y). Сегодня этот метод настолько привычен, что едва ли требует особого обсуждения.

В рассуждении «О касательных к кривым» 1679 г. Ферма находил касательные к различным кривым, то есть занимался геометрической версией дифференциального исчисления. Его метод нахождения максимума и минимума был еще одним предвестником математического анализа. В оптике он сформулировал принцип наименьшего времени: световой луч следует по тому пути, который минимизирует общее время движения. Это был один из первых шагов к вариационному исчислению – области анализа, которая занимается поиском кривых или поверхностей, минимизирующих или максимизирующих некоторую величину. К примеру, какая замкнутая поверхность фиксированного объема имеет наименьшую площадь поверхности? Ответ – сфера; именно поэтому мыльные пузыри имеют сферическую форму, ведь энергия поверхностного натяжения пропорциональна площади поверхности, а пузырь принимает форму, соответствующую минимальной энергии.

В аналогичном ключе Ферма полемизировал с Декартом по поводу закона преломления световых лучей. Декарт, раздраженный, вероятно, тем, что лавры за геометрические координаты достались оппоненту, хотя сам он считал координаты своим изобретением, отозвался критикой в адрес работы Ферма о максимумах, минимумах и касательных. Диспут получился настолько жарким, что в него в качестве арбитра оказался втянут инженер и геометр-новатор Жерар Дезарг. Когда он объявил, что прав Ферма, Декарт неохотно признал: «Если бы вы объяснили это таким образом с самого начала, я бы и возражать не стал».

* * *

Величайшее наследие Ферма относится к теории чисел. В его письмах можно найти множество вызовов для математиков. Среди них предложение доказать, что сумма двух полных кубов не может быть полным кубом; решить уравнение, получившее неудачное название «уравнение Пелля», nx² + 1 = y², где n – заданное натуральное число, а найти нужно натуральные числа x и y. Леонард Эйлер ошибочно приписал решение, найденное лордом Брукнером, Джону Пеллю. На самом же деле метод его решения содержится еще в трактате «Брахма-спхута-сиддханта» – «Усовершенствованное учение Брахмы» Брахмагупты, – относящемся к 628 г.

Одна из важнейших и красивейших теорем Ферма говорит о числах, которые можно выразить в виде суммы двух полных квадратов. Альберт Жерар впервые сформулировал утверждение по этой теме в работе, опубликованной посмертно в 1634 г. Ферма первым заявил, что нашел доказательство, написав об этом в письме к Мерсенну в 1640 г. Главное – решить эту задачу для простых чисел. Ответ зависит от типа простого числа в следующем смысле. Единственное четное простое число – 2. Нечетные числа представляют собой либо кратные 4 с добавлением единички, либо кратные 4 с добавлением 3 (то есть имеют вид 4k + 1 или 4k + 3). То же, разумеется, относится и к нечетным простым числам. Ферма доказал, что 2 и все простые числа вида 4k + 1 представляют собой суммы двух квадратов; с другой стороны, простые числа вида 4k + 3 не выражаются через сумму двух квадратов.