|
Простейшее решение этого уравнения в ненулевых целых числах – это 3<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> = 5<sup>2</sup>, знаменитый треугольник со сторонами 3–4–5. Вообще, решений бесконечное множество: Евклид привел процедуру, позволяющую найти их все; Диофант включил этот метод в свою книгу.
У Ферма имелся экземпляр перевода «Арифметики» на латинский язык, сделанного Клодом Баше де Мезирьяком в 1621 г., и свои замечания к тексту он записывал на полях. По словам сына Ферма Самюэля, Великая теорема была сформулирована как замечание к Вопросу VIII Книги II у Диофанта. Мы знаем об этом потому, что Самюэль издал собственный вариант «Арифметики», включив туда и примечания отца. Даты, когда делались примечания, неизвестны, но известно, что Ферма начал изучать «Арифметику» около 1630 г. Часто приводится дата 1637 г., но это лишь интуитивная оценка. Предполагается, что именно после размышлений о потенциальных обобщениях Пифагоровых треугольников Ферма и написал свою знаменитую маргиналию: Невозможно поделить куб на два куба, или четвертую степень на две четвертых степени, или, в общем, любую степень выше второй на две такие же степени. Я нашел поистине чудесное доказательство этого, но здешние поля слишком узки, чтобы вместить его. То есть диофантово уравнение x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> = z<sup>n</sup> не имеет целых решений, если n – целое число, большее или равное трем. Имеются косвенные свидетельства того, что со временем Ферма отказался от мысли о том, что владеет доказательством. Он имел обыкновение включать свои теоремы в письма в качестве головоломок, которые другим математикам предлагалось решить (и по крайней мере один из них жаловался на чрезмерную сложность заданий). Однако ни в одном из сохранившихся его писем не упоминается эта теорема. Что еще более показательно, Ферма предложил в качестве задач своим корреспондентам два ее частных случая, с кубами и четвертыми степенями. Зачем бы он стал это делать, если бы мог доказать более общий вариант? Он наверняка мог доказать теорему для случая с кубами, и мы знаем, как он доказывал ее для четвертых степеней. Мало того, это доказательство – единственное во всех оставленных им работах и бумагах. В формулировке Ферма это утверждение выглядело так: «Площадь прямоугольного треугольника не может быть квадратом». Очевидно, по замыслу автора эта формулировка должна была вызывать в памяти Пифагоровы тройки. Из Евклидова алгоритма решения диофантовых уравнений легко следует, что эта задача эквивалентна нахождению двух квадратов, дающих в сумме четвертую степень. Если бы решение уравнения x<sup>4</sup> + y<sup>4</sup> = z<sup>4</sup> с показателем степени 4 существовало, то и x<sup>4</sup>, и y<sup>4</sup> были бы квадратами (x<sup>2</sup> и y<sup>2</sup> соответственно); тогда из утверждения Ферма следует, что такого решения не существует. Его доказательство было изящно и сделано по тем временам радикально новым методом, который сам он назвал методом бесконечного спуска. Предположим, что решение существует; тогда, применив алгоритм Евклида и немного повозившись, можно прийти к выводу, что существует и еще одно, меньшее решение. Следовательно, говорит Ферма, можно построить бесконечную цепочку решений, которые с каждым шагом будут становиться все меньше и меньше. Поскольку любая нисходящая цепочка такого рода, составленная из положительных целых чисел, в конце концов должна будет закончиться, возникает логическое противоречие. Значит, гипотетическое решение, с предположения о существовании которого мы начали свои рассуждения, не может существовать в действительности.
* * * Возможно, Ферма намеренно скрывал свои доказательства. Судя по всему, он любил пошутить и ему нравилось помучить собратьев-математиков, представляя им свои изыскания в виде загадок. |
