Однако величайшим вкладом Ньютона в математику являются математический анализ и «Математические начала натуральной философии». Его работа в области оптики стала серьезным шагом в физике, но не оказала особого влияния на математику, поэтому я не буду больше обсуждать эту тему. С точки зрения логики математический анализ идет впереди «Начал», но исторически то и другое тесно и хитро переплетено, а нежелание Ньютона публиковаться еще больше запутывает дело. Ньютон испытывал инстинктивную нелюбовь к критике, а простейший способ уклониться от нее – держать свои открытия при себе. Однако в данном случае конечным результатом стал куда более сильный вал критики и сильнейший публичный скандал, поскольку немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц разрабатывал примерно в то же время очень похожие идеи, и со временем все это вылилось в ожесточенный спор о приоритете.

Истоки математического анализа можно увидеть еще в трактате Архимеда «О методе», в «Арифметике бесконечного» Валлиса и в работах Ферма (глава 6). Сам анализ делится на две различные, но связанные между собой области.

Дифференциальное исчисление – это метод нахождения скорости изменения некоторой величины, меняющейся со временем. К примеру, скорость – это скорость изменения положения объекта (на сколько километров изменится ваше положение по прошествии часа). Ускорение – это скорость изменения скорости (ускоряетесь вы или замедляетесь). Главный вопрос дифференциального исчисления – найти скорость изменения некоторой функции времени. Результат – функция времени, потому что скорость изменения величины тоже может быть различной в разные моменты времени.

Интегральное исчисление занимается площадями, объемами и тому подобными вещами. Его метод – разрезать объект на тончайшие ломтики, затем оценить площадь или объем каждого ломтика, не обращая внимания на возможные ошибки, которые незначимы из-за малой толщины ломтиков, сложить все вместе, а затем позволить ломтикам сделаться сколь угодно тонкими. Как обнаружили независимо друг от друга и Ньютон, и Лейбниц, интегрирование, по существу, – это процесс, обратный дифференцированию.

Оба процесса задействуют несколько сомнительную с философской точки зрения идею величин, которые можно сделать сколь угодно маленькими. Такие величины известны как бесконечно малые и требуют очень осторожного обращения. Никакое конкретное число не может быть «сколь угодно малым», поскольку это сделало бы его меньше самого себя. Однако число, которое изменяется, может стать настолько маленьким, насколько мы захотим. Но если нечто изменяется, то как это нечто может быть числом?

Предположим, нам точно известно, где находится автомобиль в любой момент времени, и мы хотим определить по этим данным его скорость. Если за период времени длительностью в один час он переместился на 60 км, то средняя скорость за этот период времени составит 60 км/ч. Но вполне может быть, что в какие-то промежутки времени автомобиль ехал быстрее, а в какие-то – медленнее. Уменьшив интервал времени до одной секунды, мы получим более точную оценку – среднюю скорость за 1 с. Но и за этот промежуток времени скорость автомобиля могла немного измениться. Мы можем аппроксимировать мгновенную скорость в любой заданный момент, определив, какое расстояние пройдет машина за очень короткий промежуток времени, и разделив это расстояние на величину промежутка. Однако, каким бы маленьким мы ни сделали этот интервал, результат будет только приблизительным. Но если мы попробуем проделать все это с использованием формулы для положения машины, то окажется, что если делать интервал времени все более близким к нулю, то средняя скорость на этом интервале будет подходить все ближе и ближе к некоторой конкретной величине. Эту величину мы и назовем мгновенной скоростью.

Обычный способ расчета требует делить расстояние на время, за которое это расстояние было пройдено.