Развивая эту идею, Лагранж нашел общий метод решения уравнений квадратных, кубических и четвертой степени с использованием перестановочных свойств конкретных выражений в решениях. Он показал также, что этот метод не работает для уравнений пятой степени. Он приводит не к более простому уравнению, а, наоборот, к более сложному, лишь усугубляя проблему. Это не означает, что такое уравнение невозможно решить никаким иным способом, но это уже явный намек на потенциальные проблемы.

В 1799 г. Паоло Руффини, поняв намек, опубликовал двухтомную «Общую теорию уравнений». «Алгебраическое решение обобщенных уравнений степени выше четвертой, – писал он, – всегда невозможно. Вот очень важная теорема, которую, мне кажется, я в состоянии доказать (если не ошибаюсь)». В качестве источника вдохновения он сослался на исследование Лагранжа. К несчастью для Руффини, перспектива продираться через 500-страничный том, наполненный сложной алгеброй, только для того, чтобы получить в конечном итоге отрицательный результат, никому не улыбалась, и на его работу не обратили практически никакого внимания. Ведущие алгебраисты начали уже примиряться с вероятным отсутствием решения, и это, вероятно, тоже не способствовало повышенному интересу. Да и слухи о том, что в книге есть ошибки, гасили всякое желание с ней знакомиться. Руффини попробовал еще раз, с доработанным доказательством, более простым, как ему казалось, для понимания. В 1821 г. Коши все же написал автору, что его книга «всегда казалась мне достойной внимания математиков и, насколько я могу судить, полностью доказывает невозможность решения алгебраических уравнений степени выше четвертой».

Возможно, похвала Коши несколько исправила репутацию Руффини, но ему не пришлось долго этому радоваться; он умер меньше чем через год. После его смерти математики пришли к общему мнению о том, что уравнение пятой степени невозможно решить в радикалах, но статус доказательства Руффини долго еще оставался неясным. Лишь много лет спустя в нем была обнаружена небольшая ошибка. Пробел можно было залатать, еще удлинив тем самым книгу Руффини, но к тому момент Абель уже нашел гораздо более короткое и простое доказательство. Мало того, оказалось, что один из его результатов вполне в состоянии дополнить доказательство Руффини. Абель умер молодым, вероятно от туберкулеза. Такое впечатление, что уравнение пятой степени было чем-то вроде отравленной чаши для всех, кто занимался поисками его решения.

И Руффини, и Абель взяли на вооружение ключевую идею Лагранжа: важно, какие выражения сохраняют инвариантность при определенных перестановках корней. Главный вклад Галуа заключался в создании общей теории, основанной на перестановках и применимой к любым полиномиальным уравнениям. Он не просто доказал, что какие-то конкретные уравнения нерешаемы в радикалах; он задался вопросом, какие из них решаемы. Его ответ состоял в том, что набор перестановок, сохраняющих все алгебраические соотношения между корнями, – он назвал это группой уравнения – должен иметь конкретную, довольно формальную, но четко определенную структуру. Детали этой структуры объясняют, какие именно радикалы появятся в решении, если решение в радикалах существует в принципе. Отсутствие такой структуры означает, что решения в радикалах просто нет.

Задействованная здесь структура весьма сложна, хотя и естественна с точки зрения теории групп. Уравнение решаемо в радикалах в том, и только том случае, если его группа Галуа имеет серию особых подгрупп (именуемых «нормальными»), такую, что конечная подгруппа содержит всего одну перестановку и число перестановок в каждой последующей подгруппе равно числу перестановок в предыдущей, деленному на некоторое простое число.