Названия для частей чисел пришли из обыденной речи. Две равные части называют половинами. Части, которые получаются при делении числа на какое-то количество долей, называются в соответствии с количеством этих долей, то есть третьи, четвертые, пятые и так далее.

Половина — это то, что получается при делении единицы на 2 части. Другими словами, это 1 : 2. При таком делении мы не получим обычного целого числа, и бессмысленно его искать. Нужно просто выбрать обозначение для данной арифметической операции. Таким обозначением стало у ½. Его можно прочесть как одна вторая, или половина. Если мы делим 1 на 3, то получаем соответственно одну третью часть, или одну треть. Если делим на 5, то получаем одну пятую, и так далее. Мы не пытаемся решить эти примеры, 1/2, 1/3, 1/5 — это просто обозначения.

Когда мы говорим, что 1 : 3 = 1/3, мы просто утверждаем, что «единица, деленная на 3, равна единице, деленной на 3».

Это звучит обескураживающе. Вы можете спросить: а что такое эта единица, которую мы делим на 3? Ответ совсем прост: а какая разница, что это. Если мы можем манипулировать с величиной 1/3 как с обычным числом, то этого вполне достаточно.

Эти доли единицы назвали дробями (от слова «дробить»). В отличие от дробей те числа, с которыми мы имели дело раньше, называются целыми.

Теперь рассмотрим, какие действия можно осуществлять с дробями. Надо выяснить, как складывать и вычитать дроби. Предположим, нам надо сложить 1/3 и 1/3. На словах это очень легко объяснить. Одна треть и одна треть вместе дадут две трети (так же как одно яблоко плюс одно яблоко равно двум яблокам).

Затем надо решить, как записать это действие при помощи арифметических символов. Поскольку одна треть — это 1/3, логично предположить, что две трети — это 2/3. Но что означает эта величина? Как мы разделим 2 на 3? Предположим, у нас два куска пирога, а детей — трое. Тогда каждый кусок пирога делим на 3, получаем 6 маленьких кусочков. Теперь каждому ребенку можно дать по два кусочка. Таким образом, каждый ребенок получает по 2/3.

Рассуждая таким образом, мы можем показать, что результат любого деления может быть представлен в виде дроби. Сорок три пирога, разделенные между семидесятью тремя людьми, дадут результат 43/73, то есть каждый человек получит по 43/73 части пирога.

Вернемся к сложению и умножению. Мы показали, чему равно 1/3 +1/3, также можно показать, что 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5, а 3/5 - 2/5 = 1/5.

Мы вывели общее правило. При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями (знаменателем называется та часть дроби, которая записана под чертой) необходимо вычесть числитель одной дроби из числителя другой.

То же правило распространяется на умножение дроби на целое число. Умножается только числитель дроби. Произведение 1/7 на 6 равно 6/7; 18/23, деленное на 9, равно 2/23. Точно так же, как с яблоками: одно яблоко, умноженное на 6, — это 6 яблок, а 18 яблок, поделенных на 9, — это 2 яблока.

В процессе сложения может оказаться, что числитель достигнет величины знаменателя. Например, 1/3 + 1/3 + 1/3= 3/3, или 1/3 × 3. Чему равно 3/3?

Очевидно, если вы разделите единицу на три части, а потом сложите снова все эти три части, вы получите первоначальное число, то есть единицу. Другими словами, 3/3 = 1, и это выражение соответствует нашему определению дроби, то есть 3 : 3 = 1.

Точно так же 2/2, 4/4, 27/27, 109476/109476 равны единице.

А что, если нам надо 1/3 умножить на 4? Мы получим ответ 4/3, а что означает такое выражение? Дробь 4/3 может быть представлена в виде 1 + 1/3. или 1¹/₃, или одна целая и одна треть.

В школе учеников обычно приучают к тому, чтобы выделять максимально возможную целую часть из дроби. То есть превращать 4/3 в 1¹/₃, 27/5 в 5²/₅ и так далее.