1/3 + 1/5 = 5/15 + 3/15 = 8/15.

Теперь попробуем применить эту систему к сложению чисел, содержащих как целую, так и дробную части.

Нам надо сложить 3 + 1/3 + 1¹/₄. Сначала переведем все слагаемые в форму дробей и получим: 3/1 + 1/3 + 5/4. Теперь нам надо привести все дроби к общему знаменателю, для этого мы числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 12, второй — на 4, а третьей — на 3. В результате получаем 36/12 + 4/12 + 15/12, что равно 55/12. Если вы хотите избавиться от неправильной дроби, ее можно превратить в число, состоящее из целой и дробной частей:

55/12 = 48/12 + 7/12, или 4⁷/₁₂.

Все правила, позволяющие проводить операции с дробями, которые мы с вами только что изучили, также справедливы и в случае отрицательных чисел. Так, -1 : 3, можно записать как ^-1/₃, а 1 : (-3) как ¹/_-3.

Поскольку как при делении отрицательного числа на положительное, так и при делении положительного числа на отрицательное в результате мы получаем отрицательные числа, в обоих случаях мы получим ответ в виде отрицательного числа. То есть (-1) : 3 = ^-1/₃ или 1 : (-3) = ¹/_-3. Знак минус при таком написании относится ко всей дроби целиком, а не отдельно к числителю или знаменателю.

С другой стороны, (-1) : (-3) можно записать как ^-1/_-3, а поскольку при делении отрицательного числа на отрицательное число мы получаем положительное число, то можно записать как +1/3.

Сложение и вычитание отрицательных дробей проводят по той же схеме, что и сложение, и вычитание положительных дробей. Например, что такое 1- 1¹/₃? Представим оба числа в виде дробей и получим 1/1 - 4/3. Приведем дроби к общему знаменателю и получим (1×3)/(1×3) - 4/3, то есть 3/3 - 4/3, или -1/3.

Глава 5

РАЗБИВАЕМ НА ДЕСЯТКИ

Продолжаем разбираться с дробями. Мы уже выяснили, как умножать и делить дроби на целые числа. А как умножить дробь на дробь или разделить дробь на дробь?

Предположим, нам надо разделить- на 2

части. Все три третьих части вместе составят единицу. Если каждую из этих частей разделить пополам, получим частей, которые вместе также составляют 1. Поскольку каждая из этих меньших частей составляет одну шестую, мы можем утверждать, что одна вторая от одной третьей равна одной шестой. Рассуждая таким же образом, мы можем показать, что одна вторая от одной четвертой равна одной восьмой, а одна третья от одной четвертой — соответственно одной двенадцатой.

Действия с дробями удобно записывать в такой форме:

1/3 × 1/2 = 1/6; 1/4 × 1/2 = 1/8; 1/3 × 1/4 = 1/12.

Мы используем знак «×», поскольку правильный ответ мы получаем при перемножении знаменателей. А как обстоит дело с числителями? На первый взгляд кажется, что числитель не изменяется, но ведь 1 × 1 = 1. Поэтому, чтобы ответить на этот вопрос, надо выяснить, как обстоит дело с дробями, числитель которых отличается от 1. Предположим, нам надо разделить 10 на пять равных частей. Каждая часть будет равна одной пятой от 10. Поскольку 10 : 5 = 2, следовательно, одна пятая часть от десяти составляет 2. Выражение «одна пятая от десяти» записывается как 1/5 × 10. Теперь попробуем представить это выражение в виде дроби. Во первых, 1/5 может быть преобразована в 2/10, если числитель и знаменатель дроби умножить на 2. Затем 10 можно представить как 10/1, умножить числитель и знаменатель на 3 и получить 30/3.

Теперь мы можем сказать, что 1/5 × 10 — это то же самое, что 2/10 ×  30/3.