Сумма дробей 7/10 + 17/49 — это совсем не то же самое, что 1/10 + 17/7.

Сумма первого выражения равна 513/490, а второго — 1239/490.

Трудность заключается в том, что при сложении необходимо привести дроби к общему знаменателю. В данном случае это можно сделать, умножив числитель и знаменатель первой дроби на 49, а числитель и знаменатель второй дроби — на 10. Тогда мы получим 343/490 + 170/490.

Как только вы привели дроби к общему знаменателю, сокращение дроби теряет всякий смысл, потому что оно приведет к тому, что знаменатели дробей опять будут различаться, то есть сложение становится невозможным. Так что при сложении дробей советую вам забыть о сокращении.

Надо сказать, что с дробями не всегда удобно работать. Как бы ни записали дробь, 1 1/2, или 1¹/₂, она нарушает стройность и логичность позиционной записи чисел.

Скажем, число 3143³/₄ можно расписать при помощи позиционных величин. Это три тысячи плюс одна сотня плюс четыре десятка плюс три единицы и плюс три четвертых. Пока мы не добрались до этой злополучной дроби, все было логично. При переходе слева направо каждая следующая позиция равна одной десятой предыдущей. Другими словами, 1000 × 1/10 = 100; 100 × 1/10 = 10; 10 × 1/10 =1.

Все прекрасно, но почему нужно останавливаться на единице? Почему бы не продолжить этот ряд дальше направо, в область, меньшую единицы?

Он будет выглядеть вот так: 1 × 1/10 =1/10; 1/10 × 1/10 = 1/100; 1/100 × 1/10 = 1/1000 и так далее. Таким образом, если продлим позиционный ряд в область чисел, меньших единицы, мы получим десятые, сотые, тысячные и так далее.

Теперь рассмотрим дробь 1/2. Если мы умножим числитель и знаменатель на одно и то же число, в данном случае на 5, величина дроби при этом не изменится. В результате получим 1/2 = 5/10. Это означает, что число, подобное 55¹/₂, можно представить в виде 55⁵/₁₀, или 55,5, или пятьдесят пять целых и пять десятых. Мы опять получили позиционное число, но теперь у нас есть дробная часть, отделенная от целой части запятой. Число 55,5 позиционное, и его можно прочесть как пять десятков плюс пять единиц плюс пять десятых.

Рассмотрим еще одну дробь, 3/4. Если мы умножим числитель и знаменатель на одно и то же число, в данном случае уже на 25, и при этом величина дроби не изменится. В результате получим 3/4 = 75/100, или 70/100 + 5/100, или 7/10 + 5/100. Это означает, что число подобное 55³/₄, можно представить в виде 55⁷⁵/₁₀₀, или 55,75, или пятьдесят пять целых и семьдесят пять сотых. Мы опять получили позиционное число, и теперь у нас есть дробная часть, отделенная от целой части запятой. Число 55,75 позиционное, и его можно прочесть как пять десятков плюс пять единиц плюс семь десятых плюс пять сотых.

Дроби, представленные в виде определенного количества десятых, или сотых, или тысячных и так далее, то есть в виде позиционного числа, называются десятичными. Запятая, отделяющая целую часть от дробной, называется десятичной запятой.

Десятичную дробь, меньшую единицы, можно было бы записать как 7. Но существует реальная возможность того, что в процессе вычислений знак запятой потеряется и дробь превратится в целое число. Поэтому выбрали такую форму записи, когда отсутствующая целая часть заменяется нулем, и наша дробь приобретает вид 0,7 (то есть ноль единиц плюс семь десятых, но можно сказать просто семь десятых). Кроме того, 7/10 можно записать как 0,70, или 0,700, или 0,7000, или 0,700000000000.