Иногда при подсчетах процентов возникают некоторые проблемы. Например, 1 процент комиссионных от суммы 675,37 доллара составит 6,7537 доллара. Для практических целей не нужно больше двух знаков после десятичной запятой, и остальные цифры округляются. После округления комиссионные равны 6,75. Все эти соотношения хорошо работают при десятичной денежной системе. Для старой британской денежной системы процентные исчисления не очень удобны. Не очень просто найти 10 процентов от 135 фунтов 10 шиллингов. По моим подсчетам, это 13 фунтов 11 шиллингов, попробуйте сосчитать и вы.

Десятичные дроби без конца

В десятичной системе возникает много серьезных проблем и помимо определения положения десятичного знака. Дело в том, что некоторые дроби невозможно представить в виде обычных десятичных эквивалентов.

Рассмотрим, например, 1/3. Попробуем представить ее в виде десятичной дроби. Для того чтобы вычислить соответствующую десятичную дробь, надо записать 1/3 как 1,000000000/3 и провести деление следующим образом:

Нет смысла продолжать деление дальше, вы уже убедились, что его можно продолжать бесконечно.

Десятичный эквивалент для 1/3 — это 0,3333333333… и так далее.

В качестве следующего примера возьмем дробь 1/7. Представим ее в виде 1,00000000/7 и проведем деление. (Эту операцию я полностью доверяю читателю.) Получаем следующий десятичный эквивалент:

1/7 = 0,142857142857142857142857… и так далее. Обращаю ваше внимание на то, что десятичным эквивалентом 1/7 является бесконечная периодическая десятичная дробь. Десятичный эквивалент является бесконечной дробью как в случае 1/3, так и в случае 1/7, но в случае 1/3 мы имеем бесконечное повторение цифры 3, а в случае 1/7 — бесконечное повторение последовательности цифр 142857.

Это примеры периодических десятичных дробей.

По существу, все десятичные дроби можно рассматривать как бесконечные периодические, поскольку в конце любой конечной десятичной дроби можно поставить бесконечное количество нулей и ее значение при этом не изменится. Например, десятичный эквивалент ½ равен 0,5.

Но это число можно представить в виде 0,5000000000000 с бесконечно повторяющимся нулем.

Иногда бесконечно повторяющуюся цифру в периодической десятичной дроби обозначают точкой, поставленной сверху. Так, 1/3 можно обозначить как , а у как . Если периодически повторяется группа чисел, ее заключают в скобки и точку ставят над одной из цифр этой группы. Так,

1/7 = 0,(142857).

Действительно, любую дробь можно представить в виде бесконечного десятичного эквивалента (даже если этой бесконечно повторяющейся цифрой будет 0), и, наоборот, любая бесконечная периодическая дробь может быть представлена в виде конечной недесятичной дроби, то есть в виде соотношения целых чисел.

У вас, конечно, возник вопрос: а как оперировать с бесконечными периодическими десятичными дробями при арифметических действиях. Можно, например, использовать недесятичный эквивалент, скажем, вместо 0,333333… использовать 1/3. Но при решении сложных научных и инженерных задач, как ни странно, бесконечные периодические десятичные дроби не создают никаких затруднений. Однако существуют другие сложные в обращении, но необходимые при решении серьезных проблем числа, и о них я вам расскажу в следующих главах.

Глава 6

ФОРМА ЧИСЕЛ

Греческие математики занимались в основном геометрией и много времени проводили подсчитывая количество точек, расположенных на плоскости в форме различных геометрических фигур. Количество точек, которые составляют треугольник, называют треугольными числами.

Можно представить себе сверхмикроскопический треугольник, состоящий из одной точки. Три точки также образуют треугольник, у которого по две точки на каждой стороне. Шесть точек образуют уже больший треугольник, у которого по три точки на каждой стороне, а десять точек — треугольник, у которого по четыре точки на каждой стороне.