Почему? На каждом шаге вдоль по цепочке из степеней двойки новая числовая система теряет некоторую часть структуры. Комплексные числа не упорядочены вдоль прямой. Кватернионы не подчиняются алгебраическому правилу ab = ba — закону коммутативности. Октонионы не подчиняются закону ассоциативности (ab)c = a(bc), хотя и удовлетворяют закону альтернативности (ab)a = a(ba). Седенионы не образуют алгебру с делением и не имеют мультипликативной нормы.

Все это носит намного более фундаментальный характер, чем просто факт «отказа» в процессе Кэли-Диксона. В 1898 году Гурвиц доказал, что единственные нормированные алгебры с делением — это четыре наших старых друга. В 1930 году Макс Цорн доказал, что те же четыре алгебры являются единственными альтернативными алгебрами с делением. Они поистине исключительны.

Происходящее — из разряда тех вещей, которые нравятся чистым математикам с их платоническими пристрастиями. Но единственными по-настоящему важными для остального человечества случаями являются, по-видимому, вещественные и комплексные числа, которые имеют широкие практические применения. Кватернионы проявили себя в ряде полезных, пусть даже эзотерических приложений, но октонионы не попадали в свет рампы прикладной науки. Они, казалось, являют собой некий тупик чистой математики, подобие претенциозной интеллектуальной чепухи, которой и следует ожидать от людей, витающих в облаках.

История математики показывает снова и снова, что опасно отбрасывать всякие яркие или красивые идеи лишь на том основании, что они вроде бы не приносят очевидной пользы. К сожалению, это не мешает людям пренебрегать такими идеями, часто именно потому, что они прекрасные или яркие. Чем более «практическими» люди себя полагают, тем в большей степени они склонны поливать презрением математические концепции, возникающие из абстрактных проблем и изобретенные «ради самих себя», а не из проблем реального мира. Чем изящнее концепция, тем больше презрения, как будто бы изящества самого по себе следует стыдиться.

Такие декларации бесполезности — заложники судьбы. Одно-единственное новое применение, один шаг вперед в науке — и презираемая концепция может внезапно, как выпущенное из пушки ядро, приземлиться в центре сцены, более не бесполезная, а, наоборот, сущностно важная.

Таким примерам нет числа. Сам Кэли говорил, что его матрицы совершенно бесполезны, но сегодня ни одна ветвь науки не могла бы без них функционировать. Кардано объявил, что комплексные числа «настолько же деликатны, насколько бесполезны», но ни один инженер или физик не мог бы работать в мире, в котором отсутствовали бы комплексные числа. Годфри Хэролду Харди — ведущему английскому математику 30-х годов двадцатого века — безмерно импонировала мысль, что теория чисел не имеет никаких практических применений и, в частности, не может использоваться в военных целях. Сегодня теория чисел применяется для шифровки сообщений — она жизненно важна для безопасности коммерческих операций, проводимых через Интернет, и еще более важна для военных.

Подобное же происходит и с октонионами. Они еще могут войти в обязательный курс математики и даже, скорее, физики.