Прежде чем мы к этому приступим, рассмотрим куда более простую родственную задачу. Где-то в космосе есть сферически симметричная планета с массой М и радиусом R, которая не имеет никакой атмосферы и не вращается, поэтому влиянием этих факторов можно пренебречь. Ее обитатель пинает ногой, щупальцем или псевдоподием футбольный мяч массой m вертикально вверх со скоростью V. Как будет двигаться мяч? Очевидно, что он будет двигаться в радиальном направлении от центра планеты. Улетит ли он в космос или упадет обратно на поверхность планеты (рис. 2.7)?

Как мы можем узнать, что произойдет? Достаточно использовать закон сохранения энергии. Суммарная энергия мяча равна сумме кинетической и потенциальной энергий. Кинетическая энергия в любой момент равна mv2/2, где v – это текущая скорость мяча. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия мяча и планеты равна – GMm/a, где G – гравитационная постоянная, a – текущее расстояние между мячом и центром планеты. Потенциальная энергия отрицательна вблизи планеты и становится равной нулю, если мяч удаляется от планеты на очень большое расстояние. Кинетическая энергия шара всегда неотрицательна. Таким образом, для того чтобы мяч улетел в космос, его полная энергия тоже должна быть неотрицательной. Так как полная энергия сохраняется, это также относится и к его начальной энергии Е, равной

Значениеназывается второй космической скоростью. Это минимальная скорость, которую необходимо иметь объекту, например мячу, чтобы выйти за пределы гравитационного притяжения массивного тела. Вторая космическая скорость для Земли составляет около 11,2 км/с. Если начальная скорость мяча меньше v2, он будет падать обратно на планету. Максимальную высоту подъема мяча при V< v2 можно легко получить непосредственно из закона сохранения энергии. При V = v2 скорость мяча будет уменьшаться с увеличением расстояния от планеты, стремясь к нулю на бесконечном удалении от нее. Если V > v2, то его скорость вдали от планеты уменьшится до некоторой положительной предельной величины, равнойЭти три случая соответствуют отрицательной, нулевой и положительной полной механической энергии мяча.

Как ни странно, эти случаи соответствуют также и трем основным сценариям космологического расширения. Вернемся к сфере из пылевидной материи и рассмотрим частицу массы m, которая все время находится на поверхности. В какой-то момент времени ее кинетическая энергия равна mv2/2 = mH2r2/2. Гравитационная потенциальная энергия обеспечивается только взаимодействием с веществом внутри сферы и равна – GMm/r = –4πGρmr2/3. Полная энергия равна

где A = const из закона сохранения энергии. Мы ввели обозначение для критической плотности материи

ρкрит = 3H2/8πG. (2.11)

Обратите внимание, что величина ρкрит зависит от величины постоянной Хаббла H и изменяется во времени. В настоящее время она равна 1,88×10–26 h2 кг/м3, где h = H0/(100 (км/с)/Мпк). Используя величину h, полученную из астрономических наблюдений, можно получить ρкрит = (8,62 ± 0,12)×10−27 кг/м3. Чему это соответствует? Самая разреженная среда, с которой когда-либо сталкивалось человечество, – это межпланетное пространство в Солнечной системе. Его плотность в районе орбиты Земли мала и составляет примерно 10–20 кг/м3 (6 протонов на 1 см3), что более чем в 80 млн раз больше критической плотности.

Разность между плотностью вещества ρ и критической плотностью всегда имеет тот же знак, противоположный знаку константы А. При А > 0 всегда выполняется условие ρ < ρкрит. Энергия частицы (2.10) положительна, и, следовательно, частица может достичь бесконечности.