При Ωm = 1 (плоская модель) имеем H = H0u–3/2, что соответствует монотонному уменьшению Н, стремящемуся к нулю при u → ∞. При Ωm < 1 (открытая модель) постоянная Хаббла также снижается, но медленнее. При Ωm > 1 (закрытая модель) первый член в скобках отрицателен, а второй – положителен. Второй член уменьшается быстрее, чем первый. Таким образом, если бы эта модель допускала большие значения u, то правая часть уравнения (2.16) в конечном итоге стала бы отрицательной, что невозможно. Таким образом, относительный масштабный фактор Вселенной увеличивается до тех пор, пока постоянная Хаббла не становится равной нулю, а после этого уменьшается. Мы можем найти максимальный масштабный фактор, приравняв выражение в квадратных скобках к нулю:

umax = rmax/r0 = Ωm0/(Ωm0 – 1). (2.17)

Чтобы найти зависимости от времени, нам нужно подставить уравнения (2.14) и (2.15) в уравнение (2.13), которое сводится к

Все, что требуется, чтобы вычислить этот интеграл, – заглянуть в хороший справочник. В простейшем случае плоской модели (Ωm0= 1) мы получаем:

Значение константы интегрирования выбрано таким образом, чтобы момент t = 0 соответствовал Большому взрыву.

Для открытой модели (Ωm0 < 1) мы имеем:

где p = Ωm0/(1 – Ωm0) > 0.

Для закрытой модели (Ωm0 > 1) мы имеем другое громоздкое выражение

где s = Ωm0/(Ωm0 – 1) > 1.

Мы использовали эти формулы для построения рис. 2.2. Теперь построим его еще раз, как рис 2.8, добавив масштабы на осях. Мы используем значение H0 = 68 (км/с)/Мпк, которое, впрочем, влияет только на временной масштаб графика. Мы использовали довольно экстремальные значения Ωm0= 0,5 и Ωm0= 1,5 для открытой и закрытой моделей.

Уравнение (2.21) дает нам промежуток времени от Большого взрыва до момента, когда замкнутая Вселенная достигает своего максимального размера, и равный ему промежуток времени с этого момента до Большого хруста:

Общее время жизни замкнутой Вселенной равно 2ΔT.

2.7.3. Параметр замедления

Некоторые полезные величины могут быть получены без каких-либо дифференциальных уравнений типа (2.12). Параметр замедления в космологии определяется как

Здесь точка над переменной означает ее производную по времени, а две точки – вторую производную по времени. Таким образом,является скоростью частиц на поверхности сферы, а– их ускорением.

Мы можем определить эту величину, использовав формулу для ускорения частицы на поверхности сферы

Параметр замедления равен

Здесь Ωm = ρ/ρкрит – параметр плотности материи. Можно убедиться, что расширение действительно замедляется и параметр замедления q равен 0,5 для плоской модели, превышает 0,5 для закрытой модели и находится в интервале от 0 до 0,5 для открытой модели.

Из уравнений (2.10) и (2.11) также следует, что

Ранее мы встречались с этой же формулой, но примененной к текущему моменту времени (2.15).

Обратите внимание, что из закона Хаббла (2.1) следует

что означает, что

Таким образом, замедление означает не только уменьшение Н, оно означает, что qположительно иВеличина Hr убывает при q > 0 согласно формулам (2.23) и (2.27). Это означает, что абсолютная величина отклонения Ωm от единицы увеличивается при расширении Вселенной. Эти отклонения положительны для закрытой модели и отрицательны для открытой. Только плоская модель остается все время плоской. В любом случае модели Фридмана без космологической постоянной, или темной энергии, обеспечивают увеличение величины |1 – Ωm|.