– Так что точки D, E, A, B, C являются углами правильного пятиугольника, и я могу завершить рисунок, проведя отрезок CD! – воскликнул я. – Как неле… – я поймал краем глаза его взгляд. – Э-э, как элегантно, Сомс!
Он пожал плечами.
– Пустяк, Ватсап. Этого достаточно, чтобы покончить с Матемагической ассоциацией Нумерики и причинить Могиарти некоторые неудобства. Сам же он… Боюсь, он окажется куда более крепким орешком.
Почему пузырьки в пиве идут сверху вниз?
E. S. Benilov, C. P. Cummins, and W. T. Lee. Why do bubbles in Guinness sink? arXiv: 1205.5233 [physics. flu-dyn].
Собаки, дерущиеся в парке
– Собаки столкнулись через 10 секунд, – объявил Сомс.
– Поверю вам на слово, – сказал я. – Но удовлетворите мое любопытство: как вы получили эту цифру?
– Задача симметрична, Ватсап, а симметрия зачастую упрощает рассуждения. В описанных вами условиях три собаки всегда находятся в вершинах равностороннего треугольника. Он вращается и одновременно сжимается, но сохраняет форму. Таким образом, с точки зрения одной из собак – скажем, A, – она все время бежит по прямой к соседней собаке B.
– Но разве треугольник не вращается, Сомс?
– Вращается, но это несущественно, поскольку мы можем проводить вычисления во вращающейся системе координат. Важно, насколько быстро треугольник сжимается. Собака B всегда бежит под углом 60° к прямой AB, поскольку собаки всегда образуют равносторонний треугольник. Так что компонента ее скорости в направлении собаки A равна 1/2 × 4 = 2 ярда в секунду. Следовательно, A и B приближаются друг к другу с суммарной скоростью 4 + 2 = 6 ярдов в секунду и покрывают разделявшее их в начальный момент расстояние в 60 ярдов за 60/6 = 10 секунд.
Почему у моих друзей больше друзей, чем у меня?
Предположим, в социальной сети n человек, причем человек i имеет x<sub>i</sub> друзей. Тогда среднее число друзей по все членам сети составляет
При рассмотрении столбца 3 в таблице – взвешенного среднего от числа друзей у каждого из друзей j человека i – мы используем стандартный математический прием и работаем вместо этого с человеком j. Этот человек фигурирует как друг у x<sub>j</sub> человек – а именно у собственных друзей – и вносит x<sub>j</sub> в подсчет полного количества у каждого из этих друзей. Так что случаи, когда человек j выступает в качестве друга, вносят вклад x<sub>j</sub>² в общую сумму. Число элементов в столбце 3 составляет x<sub>1</sub> + … + x<sub>n</sub>. Так что взвешенное среднее числа друзей у каждого из друзей равно
Я утверждаю, что для любых x<sub>j</sub> мы всегда имеем b>a, если только все x<sub>j</sub> не равны, в каковом случае b = a. Это следует из стандартного неравенства, связывающего среднее с тем, что инженеры называют «среднеквадратичным значением» (это корень квадратный из среднего значения квадратов):
причем равенство достигается только при равенстве всех x<sub>j</sub>. Возведя в квадрат и сгруппировав, получим a<b, за исключением случая равенства всех x<sub>j</sub>, что и требовалось. Дополнительную информацию можно найти на сайте
Приключение шестерых гостей
Замечание Сомса – пример применения теории Рамсея – области комбинаторики, названной в честь Фрэнка Рамсея, доказавшего аналогичную, но более общую теорему в 1930 г. |