И материалом для ответа на него я имею статью Гельмгольца "О происхождении и значении геометрических аксиом". Я знаю ее разумеется, лишь по русскому переводу. Он помещен в журнале "Знание" за 1876 год, № 8,- я буду цитировать перевод буквально.

----

Первые строки статьи:

"Задачею настоящей статьи является обсуждение философского значения новейших изысканий в области геометрических аксиом и обсуждение возможности создания аналитическим путем новых систем геометрии с иными аксиомами, чем у Эвклида".

Это говорит г. Гельмгольц, один из величайших - это я знаю натуралистов и - читал я, охотно верю, сам по этой его статье отчасти вижу - один из самых лучших математиков нашего времени.

Все в этой статье я совершенно ясно понимаю.

И я говорю: он,- он, автор - он не понимает, о чем он говорит в ней и что он говорит в ней. Он перепутывает математические термины и в путанице их запутывает свои мысли так, что у него в голове сформировалась совершенно бессмысленная чепуха, которую он и излагает в этой статье.

Я буду поправлять его ошибки в употреблении терминов, и техническая часть его статьи получит при этих поправках правильный смысл. Без них в ней сплошная бессмыслица.

Заметим одно словечко в тех первых строках статьи. Гельмгольц хочет обсудить философское значение предмета статьи. "Философское".- А в "философии" он ничего не смыслит. В этом-то и причина падения его в бессмыслицу.

Он вычитал где-то что-то такое, чего не понял. Мы увидим, где и что он вычитал. Но это увидим мы. Сам он этого не знает. Углубляясь в те непонятные для него мысли, он вообразил, будто бы "возможно создать аналитическим путем новые системы геометрии" различные от геометрии "Эвклида".

Это - дикая фантазия невежды, не понимающего, что он думает и о чем он думает.

Дело, в сущности, так просто, что вполне понятно во всех своих технических подробностях даже мне, при всей скудости моих математических знаний. Оно состоит вот в чем:

У каждой геометрической кривой есть свои особенности. Эллипс имеет не те качества, как гипербола, или циклоида, или синусоида. Кому это неизвестно? - Я очень плохо знаю эллипс; гиперболу - и того меньше; но и я понимаю: это разные линии. А когда они различны, то и уравнение эллипса понятно мне - различно от уравнения гиперболы. Я не знаю ни той, ни другой из этих формул. Но они различны, это понятно мне. Синусоиду я почти вовсе не знаю; но знаю: у нее есть свое особое уравнение. Что такое циклоида, я тоже почти вовсе не знаю. Но знаю: и у нее есть свое особое уравнение.

Итак? - Не все, что применимо к эллипсу, применяется к тем трем линиям. То же и о каждой из них. То же и о всякой другой геометрической линии.

Теперь, угодно ли нам будет употреблять такие выражения: "геометрия эллипса" - вместо: "Глава конических сечений, рассматривающая свойства эллипса"; "Геометрия гиперболы" - вместо: "другая глава конических сечений, рассматривающая свойства гиперболы",- и так далее? - можем говорить так, если хотим; но тогда мы должны говорить: "геометрия равносторонних прямолинейных треугольников на плоскости"; - "геометрия равнобедренных и т. д. треугольников" и т. д.- И в конце концов у нас будет столько "геометрий", сколько разных формул в "геометрии" по обыкновенному выражению.

Но, "создавая" эти тысячи, пожалуй миллионы "геометрий", мы что такое "создаем"? - Новые словосочетания, только. Мы должны помнить это. Дело у нас лишь в словах.

А Гельмгольц,- на этом,- на этом сбился, бедняжка.

Он и какие-то, не помню в эту минуту, но после найдем, какие именно,он и какие-то другие "новейшие" мастера рисовать формулы успели нарисовать какие-то уравнения каких-то линий, о которых воображается им, что эти их "открытия" очень важны.