При решении более крупных игр вербальные размышления могут привести к равновесию обратных рассуждений, если игра достаточно простая или ее полное дерево поддается построению и анализу. Если игра сложная, вербальные размышления слишком трудны, а полное дерево игры огромно, можно прибегнуть к помощи компьютерной программы. Игру в шашки удалось решить посредством такой программы, хотя полное решение игры в шахматы еще предположительно долго будет оставаться за пределами возможностей компьютеров. В реальных шахматных баталиях в определении ходов игроков присутствуют как элементы искусства (выявление закономерностей и возможностей в зависимости от рисков), так и науки (упреждающее вычисление вероятных исходов игры, вытекающее из результатов определенных ходов).

Проверка теории игр с последовательными ходами на первый взгляд подтверждает тот факт, что реальные игры демонстрируют иррациональность игроков или неспособность теории адекватно предсказывать их поведение. Встречный аргумент подчеркивает сложность фактических предпочтений в отношении различных возможных исходов игры, а также пользу стратегической теории для определения оптимальных действий в случаях, когда фактические предпочтения известны.

Ключевые термины

Ветвь

Дерево игры

Дерево решений

Концевой узел

Корень (дерева)

Метод обратных рассуждений

Начальный узел

Обратная индукция

Отсечение (ветвей)

Преимущество второго хода

Преимущество первого хода

Путь игры

Равновесие обратных рассуждений

Равновесный путь игры

Узел

Узел действия

Узел принятия решений

Функция промежуточной оценки

Ход

Экстенсивная форма

Упражнения с решениями

a) Нарисуйте дерево игры, в которой у Гензеля есть два возможных действия («вверх» или «вниз») в каждом узле, а у Гретель — три («вверх», «посредине» или «вниз»). Сколько узлов каждого типа (узлов принятия решений и концевых узлов) присутствует в дереве этой игры?

b) Нарисуйте дерево для игры, в которой у Гензеля и Гретель по три возможных действия («сидеть», стоять» и «прыгать») в каждом узле. Сколько узлов двух типов присутствует в дереве такой игры?

c) Нарисуйте дерево для игры, в которой у Гензеля четыре возможных действия («север», «юг», «восток», «запад») в каждом узле, а у Гретель — два («стоять» или «идти»). Сколько узлов двух типов присутствует в дереве такой игры?

Нарисуйте дерево этой игры. Найдите равновесия обратных рассуждений и опишите равновесные стратегии компаний.

a) Предположим, осталось шесть спичек и пришла очередь Барни ходить. Какой ход он должен сделать, чтобы обеспечить себе победу? Объясните логику своих рассуждений.

b) Допустим, осталось 12 спичек и настала очередь Барни ходить. Какой ход он должен сделать, чтобы обеспечить себе победу? (Совет: используйте свой ответ в пункте a и примените метод обратных рассуждений.)

c) Теперь начните с исходной точки игры. Если оба игрока выберут оптимальный способ ее ведения, то кто из них победит?

d) Какие оптимальные стратегии (исчерпывающие планы действий) есть в распоряжении каждого игрока?

a) Нарисуйте дерево этой игры, начиная с пяти спичек.

b) Найдите для нее равновесие обратных рассуждений, начиная с пяти спичек.

c) Можно ли сказать, что в этой игре с пятью спичками существует преимущество первого или второго хода?

d) Объясните, почему вы нашли более одного равновесия обратных рассуждений.