|
Эти утверждения верны даже при больших скоростях — на протяжении некоторого ненулевого промежутка времени. Неизвестно, существует ли решение, верное для любого момента в будущем, но есть некоторый промежуток времени, на котором решение существует точно. Может показаться, что эту логику рассуждений можно повторять без конца, продвигая решение вперед во времени на небольшие промежутки и используя всякий раз конечный результат как новое начальное состояние. Проблема с подобным подходом заключается в том, что временны́е интервалы при этом могут уменьшаться настолько стремительно, что бесконечное число шагов будет укладываться в конечное время. К примеру, если каждый последовательный шаг продвигает решение на половину времени, достигнутого на предыдущем шаге, то весь процесс закончится за время что равняется 2. Если решение прекращает существовать — в настоящее время это чисто гипотетическое предположение, но рассматривать его мы все же можем, то говорят, что решение, о котором идет речь, разрушается. Время, за которое это происходит, называется временем разрушения решения.
Так что в четырех задачах, по существу, спрашивается о том, могут ли решения разрушаться. Если не могут, верны утверждения 1 и 2; если могут — утверждения 3 и 4. Возможно, решения могут разрушаться в бесконечном пространстве, а на конечном плоском торе — не могут. Кстати говоря, если ответ на вопрос 1 положителен, то положителен ответ и на вопрос 2, потому что поток любой структуры на плоском торе можно интерпретировать как пространственно периодический поток в целом бесконечном пространстве. Речь идет о том, чтобы наполнить пространство копиями прямоугольника, о котором идет речь, и в каждом воспроизвести поток в точности той же структуры. Правила склеивания для тора гарантируют, что поток, пересекая эти плоские стыки, остается гладким. Аналогично если верно утверждение 4, то верно и утверждение 3 по той же причине. Мы просто делаем начальное пространство пространственно периодическим. Но, насколько мы сейчас в состоянии сказать, ответ на вопрос 2 может оказаться положительным даже при отрицательном ответе на вопрос 1. Нам известен, однако, один поразительный факт, касающийся разрушения решений. Если существует решение с конечным временем разрушения, то максимальная скорость жидкости во всех точках пространства должна стать произвольно большой. Это могло бы произойти, к примеру, если бы сформировалась струя и скорость ее росла столь стремительно, что уже через конечный промежуток времени она улетела бы в бесконечность.
Это не чисто гипотетические возражения. Примеры подобного сингулярного поведения наблюдаются в некоторых других уравнениях классической математической физики. Замечательный пример можно найти в небесной механике. В 1988 г. Ся Чжихун доказал, что существует такая начальная конфигурация пяти материальных точек, или точечных масс, в трехмерном пространстве, где действует закон тяготения Ньютона, в которой четыре тела через конечный промежуток времени исчезают в бесконечности — тоже своего рода разрушение, а пятое переживает еще более значительные колебания. Ранее Джозеф Гервер указал, что пять тел на плоскости могут все раствориться в бесконечности за конечное время, но не смог завершить доказательство такого сценария. В 1989 г. он доказал, что разбегание такого рода определенно возможно на плоскости, если число тел достаточно велико. Замечательно, что такое поведение возможно, ведь в подобных системах действует закон сохранения энергии. Конечно, если все тела движутся произвольно быстро, то полная кинетическая энергия системы должна расти? Ответ в том, что одновременно падает потенциальная энергия, а полная гравитационная потенциальная энергия материальной точки бесконечна. Должен сохраняться еще и момент импульса, но и это возможно, если некоторые из тел движутся все быстрее и быстрее по кругу все уменьшающегося диаметра. |
