|
А вот решение ее, как оказалось, лежит в области вовсе не геометрии, а алгебры. Дело в том, что решение великих задач часто основывается на выявлении неожиданных связей между разными, на первый взгляд, разделами математики. Связь геометрии и алгебры сама по себе не является чем-то беспрецедентным, но тот факт, что она имеет какое-то отношение к квадратуре круга, был замечен далеко не сразу. А потом, когда связь уже была установлена, возникли чисто технические сложности, и для их разрешения потребовалось привлечь еще один раздел математики — математический анализ. По иронии судьбы первый шаг к прорыву был сделан в четвертой области математики — в теории чисел. В результате была решена геометрическая задача, в решаемость которой греки не поверили бы даже в самых смелых своих мечтах и о которой, насколько нам известно, никогда не думали: задача о построении при помощи циркуля и линейки правильного многоугольника с 17 сторонами.
Звучит дико, особенно если добавить, что для правильных многоугольников с 7, 9, 11, 13 или 14 сторонами ничего подобного не существует, зато многоугольник с 3, 4, 5, 6, 8, 10 и 12 сторонами построить можно. Однако в данном случае за безумием скрывается система, причем такая, что ее выявление заметно обогатило математику. Начнем с начала: что такое правильный многоугольник? Многоугольник вообще — это фигура, ограниченная прямыми линиями. Многоугольник называется правильным, если все отрезки прямых имеют одинаковую длину и пересекаются под одинаковыми углами. Самый известный пример — квадрат: все четыре его стороны имеют одинаковую длину, а все четыре угла являются прямыми. Существуют и другие фигуры — с четырьмя равными сторонами или с четырьмя равными углами: это, соответственно, ромб и прямоугольник. Только квадрат обладает обоими свойствами одновременно. Правильный трехсторонний многоугольник — это равносторонний треугольник; существуют также правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т. д. (рис. 4). Евклид приводит методы построения при помощи циркуля и линейки правильных многоугольников с 3, 4 и 5 сторонами. Кроме того, греки умели последовательно удваивать число сторон, выстраивая многоугольники с 6, 8, 10, 12, 16, 20 и более сторонами. Объединив методы построения правильных многоугольников с 3 и 5 сторонами, они получили правильный 15-угольник. Но на этом продвижение остановилось, и далее, на протяжении 2000 лет, на этом направлении ничего не менялось. Никто не думал, что в этом списке могут появиться многоугольники с еще каким-то числом сторон. Никто даже не задавался этим вопросом: всем казалось, что ничего больше сделать не удастся.
Понадобилось вмешательство одного из величайших математиков всех времен, чтобы обдумать немыслимое, задаться вопросами, задавать которые бесполезно, и получить поистине поразительный ответ. Имя этого математика — Карл Гаусс. Родился Гаусс в бедной семье в городе Брауншвейге в Германии. Его мать Доротея была неграмотной и не смогла даже записать дату рождения ребенка. Однако она помнила, что было это в 1777 г., за восемь дней до праздника Вознесения. Позже Гаусс сам вычислил точную дату своего рождения при помощи разработанной им формулы расчета дат Пасхи. Отец ученого Гебхард происходил из крестьянской семьи, но зарабатывал на жизнь разной работой: копал канавы, был садовником, уличным мясником, счетоводом похоронной конторы. А их сын оказался вундеркиндом: рассказывали, что уже в трехлетнем возрасте он исправлял отцовские ошибки в арифметике. Его способности, распространявшиеся помимо математики и на языки, побудили герцога Брауншвейгского оплатить обучение мальчика в Брауншвейгском университете. Будучи студентом, Гаусс самостоятельно открыл для себя несколько важных математических теорем, доказанных знаменитыми учеными, такими как Эйлер. |
