В «Началах» Евклида для геометрических построений используются идеальные версии двух математических инструментов: линейки и циркуля. (Поскольку у циркуля две ножки, про него, вероятно, следовало бы говорить циркули, — ведь бумагу мы режем ножницами, а не одним ножницем, но я буду пользоваться традиционной терминологией.) При помощи этих инструментов геометры «чертят» на умозрительном листе бумаги — евклидовой плоскости.

Форма инструментов определяет их возможности. Циркуль представляет собой два прямых жестких стержня, соединенных шарниром. Конец одного стержня заострен, на конце другого закреплен заостренный грифель. При помощи циркуля можно нарисовать круг или часть круга определенного радиуса с центром в определенной точке. Линейка еще проще: у нее есть прямой край, по которому можно провести прямую линию. В отличие от линеек, которые сегодня можно купить в любом канцелярском магазине, линейка Евклида не имеет разметки, и это важное ограничение для математического анализа ее возможностей.

Почему речь идет об идеальных версиях инструментов, понятно: считается, что с их помощью проводятся бесконечно тонкие линии. Более того, все прямые получаются идеально прямыми, а окружности — идеально круглыми. Бумага также идеально плоская и ровная. Еще один ключевой элемент евклидовой геометрии — представление об идеальной точке. Точка ставится на бумаге, но физически такая точка невозможна: она не имеет размера. «Точка, — говорит Евклид в первой фразе своих “Начал”, — это то, что не имеет частей». По описанию она немного напоминает атом или, если вы немного в курсе современной физики, элементарную частицу, но в сравнении с геометрической точкой и атом, и частица — гигантские объекты. Однако в рамках обыденных представлений идеальная точка Евклида, атом и карандашная точка на бумаге одинаково хорошо годятся для геометрических построений.

В реальном мире идеал недостижим, как бы мы ни старались заточить карандаш и какой бы гладкой ни делали бумагу. Но в данном случае идеализм — достоинство, поскольку идеализация значительно упрощает математику. К примеру, пересечение двух реальных карандашных линий представляет собой небольшую размытую область в виде параллелограмма, но математические линии пересекаются исключительно в точке. Откровения, полученные из идеальных окружностей и линий, нередко можно перенести в реальный мир и применить к реальным несовершенным фигурам. Именно так работает волшебство математики.

Две точки определяют единственную прямую, которая через них проходит. Чтобы построить эту прямую, прикладываем нашу идеальную линейку так, чтобы ее сторона проходила через обе точки, и проводим вдоль нее идеальным карандашом. Две точки также определяют круг: выберите одну из точек — она станет центром окружности — и поставьте в нее острие циркуля; затем разведите ножки циркуля так, чтобы кончик грифеля встал на вторую точку. А теперь ведите грифель по дуге, аккуратно удерживая острие в центре. Две прямые определяют единственную точку пересечения — если, конечно, они не параллельны; в этом случае прямые не пересекаются, зато широко распахивается логический ящик Пандоры. Прямая и окружность определяют две точки, если пересекаются, и одну, если прямая лишь касается окружности; если окружность слишком мала, чтобы дотянуться до прямой, пересечения не будет. Точно так же две окружности могут пересекаться в двух точках, в одной или не пересекаться вовсе.