|
Однако остается еще очень много того, чего мы по-прежнему не знаем.
К примеру, мы знаем, что существует бесконечно много простых чисел вида 4k + 1 и 4k + 3. В более общем виде это утверждение выглядит так: любая арифметическая прогрессия ak + b с постоянными параметрами a и b содержит бесконечно много простых чисел, если a и b не имеют общих делителей. К примеру, пусть a = 18. Тогда b = 1, 5, 7, 11, 13 или 17. Следовательно, существует бесконечно много простых чисел видов 18k + 1, 18k + 5, 18k + 7, 18k + 11, 18k + 13 или 18k + 17. Но это неверно для 18k + 6, например, потому что 18 кратно 6. Ни одна арифметическая прогрессия не может состоять только из простых чисел, но недавний серьезный прорыв — теорема Грина — Тао — показывает, что последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. В 2004 г. Бен Грин и Теренс Тао разработали очень глубокое и сложное доказательство этого утверждения, что внушает надежду: на самые сложные вопросы, какими бы неприступными они ни выглядели, в конце концов может быть получен ответ. Снимаем шляпу, а потом надеваем ее — и вновь за работу: мы немедленно задаемся вопросом о более сложных формулах с k. Не существует простых чисел вида k²; не существует и простых вида k²−1, за исключением 3, поскольку подобные выражения раскладываются на множители. Однако выражение k² + 1 не имеет очевидных делителей, и простых чисел такого вида можно найти множество:
2 = 1² + 1,5 = 2² + 1,17 = 4² + 1,37 = 6² + 1 и т. д. Можно привести пример и с бо́льшими цифрами, хотя особого смысла в этом нет:
18 672 907 718 657 = (4 321 216)² + 1. Предполагается, что таких простых чисел тоже бесконечно много, но до сих пор не доказано ни одного подобного утверждения ни для одного конкретного многочлена, в котором k стояло бы в степени выше единицы. Очень правдоподобное предположение сделал в 1857 г. Виктор Буняковский: любой многочлен от k, не имеющий очевидных делителей, представляет бесконечное множество простых чисел. Исключение составляют не только разложимые многочлены, но и такие многочлены, как k² + k + 2 (этот многочлен всегда делится на 2, хотя и не имеет алгебраических делителей). Некоторые многочлены, судя по всему, обладают особыми свойствами. Классический пример: k² + k + 41. Этот простое число, если k = 0, 1, 2, …, 40 и, строго говоря, если k = −1, −2, …, — 40 тоже. Длинные цепочки простых чисел при последовательных значениях k попадаются редко, и о них мы кое-что знаем. Но в целом вся эта область весьма загадочна. Гипотеза о парах простых чисел почти так же знаменита, как гипотеза Гольдбаха, и, судя по всему, столь же неприступна. Вот ее суть: существует бесконечно много пар простых чисел с разницей в 2. Приведем несколько примеров:
3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19. На сегодняшний день (на январь 2012 г.) наибольшими известными парными простыми являются числа 3 756 801 695 685 × <sup>2666 669</sup> ± 1, содержащие по 200 700 десятичных знаков. Они были найдены в 2011 г. в рамках проекта распределенных вычислений PrimeGrid. В 1915 г. Вигго Брун при помощи одного из вариантов решета Эратосфена доказал, что сумма чисел, обратных всем парным простым, сходится, в отличие от суммы чисел, обратных всем простым. В этом смысле парные простые встречаются относительно редко. При помощи аналогичных методов он доказал также, что существует бесконечно много целых n, таких, что n и n + 2 имеют не больше девяти простых делителей. Харди и Литлвуд при помощи своих эвристических методов пришли к выводу, что количество пар простых, меньших x, асимптотически приближается к
где a — константа, равная приблизительно 0,660161. |
