К примеру, гипотеза в теории чисел может утверждать, что каждое положительное целое число может быть представлено каким-то определенным образом с использованием, скажем, шести специфических чисел (простых, квадратов, кубов, каких угодно еще). Здесь ключевыми моментами являются каждое положительное целое и шесть специфических чисел. Первые попытки подступиться к этой проблеме дают слабые результаты, но постепенно, посредством небольших шажков, они улучшаются.

Первым шагом часто является доказательство какого-нибудь утверждения вроде, например, такого: каждое положительное целое число, которое не делится на 3 и 11, за исключением некоторого конечного их количества, может быть представлено через некое гигантское количество — скажем, 10⁶⁶⁶ — чисел оговоренного вида. Как правило, такая теорема умалчивает о том, сколько и каких существует исключений, так что результат невозможно приложить непосредственно к любому заданному целому числу. Следующий шаг состоит в том, чтобы обозначить границы эффективности, т. е. доказать, что каждое целое число больше 10¹⁰⁴² может быть представлено таким образом. Затем снимается ограничение по делимости на 3, а немного позже и на 11. После этого авторы один за другим начинают снимать ограничения: одни уменьшают число 10⁶⁶⁶, другие 10¹⁰⁴², третьи — то и другое одновременно. Типичным улучшением может быть, к примеру, такое: каждое целое число больше 5,8 × 10¹⁷ может быть представлено с использованием не более 4298 чисел оговоренного вида.

Тем временем другие исследователи продвигаются снизу вверх, начиная с маленьких чисел, и доказывают, часто при помощи компьютерных расчетов, что, скажем, каждое число, меньшее или равное 10¹², может быть выражено с использованием не более шести тех самых чисел. Примерно за год 10¹² превращается (за пять последовательных шагов, усилиями разных исследователей или групп) в 11,0337 × 10²⁹. Следует отметить, что ни один из перечисленных шагов не является ни рутинным, ни простым; напротив, они совершаются с привлечением хитроумных специальных методов, которые ничего не говорят о более общем подходе, и доказательство при каждом последовательном шаге становится все более сложным и длинным. Через несколько лет такого постепенного продвижения это число при помощи примерно тех же идей, но более мощных компьютеров и новых ухищрений удается поднять до 10⁴³. На этом, однако, метод стопорится, и все сходятся во мнении, что никакие уловки не помогут таким способом доказать полный вариант.

Гипотеза пропадает из виду, над ней уже никто не работает. Бывает, что продвижение почти совсем останавливается. Иногда без новостей проходит лет 20… И вдруг, как гром среди ясного неба, какие-нибудь Чизбургер и Чипс заявляют, что им удалось получить полное доказательство, переформулировав гипотезу в терминах комплексных метаэргодических квазимножеств и приложив теорию византийского квислинга. После нескольких лет споров о тонких моментах логики и затыкания нескольких дыр в доказательстве математическое сообщество признает его корректным и немедленно задается вопросами, не существует ли более простого способа получить тот же результат и нельзя ли его улучшить.

В последующих главах вы не раз увидите эту схему в действии. Но если рассказывать обо всем этом подробно, то может получиться довольно скучно, поэтому я не буду перечислять всех, кому удалось более точно определить экспоненту в гипотезе Джекила — Хайда, выяснив, что это не 1,773, а 1,771 + e для любого положительного e (как бы ни гордились Баггинс и Крумм своим последним достижением на этой ниве). Я опишу несколько значимых вкладов, оставив все другие за скобками. И дело не в том, что работа Баггинса и Крумма кажется мне незначительной.