Например, две тысячи лет назад Евклид доказал, что запас простых чисел неисчерпаем (см. гл. 2). Последние два столетия математики пытались доказать, что запас простых чисел-близнецов также неисчерпаем. Близнецами называют пары простых чисел, отличающихся на 2, т. е. являющихся ближайшими соседними простыми числами (простые числа не могут отличаться на 1, иначе одно из них должно было бы быть четным). Примерами небольших простых чисел-близнецов могут служить (5, 7), (11, 13) и (17, 19), примерами больших чисел-близнецов — (22271, 22273) и (1 000 000 000 061, 1 000 000 000 063). Существуют веские основания полагать, что множество простых чисел-близнецов бесконечно, но никому пока не удалось доказать, что это действительно так.

Самый большой прорыв к доказательству так называемой гипотезы простых чисел произошел в 1966 году, когда китайскому математику Чену Джинграну удалось показать, что существует бесконечное множество пар простых и почти простых чисел. У настоящих простых чисел нет делителей (отличных от самого числа и единицы), а почти простые числа уступают простым самую малость: у них существуют только два простых делителя. Например, число 17 простое, а число 21 (=3·7) — почти простое. Что же касается таких чисел, как 120 (=2·3·4·5), то они не простые и не почти простые, так как их можно представить в виде произведения нескольких простых множителей. Чен доказал, что существует бесконечно много случаев, когда простое число имеет в качестве близнеца либо другое простое число, либо почти простое число. Тот, кому удастся продвинуться еще на один шаг и снять оговорку «почти», совершит величайший прорыв в теории простых чисел со времен Евклида.

Еще одна загадка простых чисел восходит к 1742 году, когда Христиан Гольдбах, учитель малолетнего царя Петра I, написал письмо великому математику Леонарду Эйлеру (который был родом из Швейцарии, но почти всю жизнь проработал в Петербурге). Рассмотрев десятки четных чисел, Гольдбах заметил, что все они представимы в виде суммы двух простых чисел:

4 = 2 + 2,

6 = 3 + 3,

8 = 3 + 5,

10 = 5 + 5,

50 = 19 + 31,

100 = 47 + 53,

21000 = 17 + 20983,

. . . . . .

Гольдбах спрашивал у Эйлера, может ли тот доказать, что каждое четное число представимо в виде суммы двух простых чисел. Несмотря на многолетние усилия, Эйлеру, которого считали «живым воплощением анализа», так и не удалось решить проблему Гольдбаха. Ныне, в век компьютеров, гипотезу Гольдбаха подвергли проверке. Оказалось, что она верна для любого четного числа до 100 000 000, но доказать, что она верна для любого из бесконечно многих четных чисел, пока никому не удалось. Математики сумели доказать, что любое четное число представимо в виде суммы не более, чем 800 000 простых чисел, но этот результат весьма далек от доказательства первоначальной гипотезы Гольдбаха. Но даже столь слабые результаты позволили пролить свет на природу простых чисел, и в 1941 году российскому математику Ивану Матвеевичу Виноградову, которому удалось продвинуться на пути к доказательству гипотезы Гольдбаха, была присуждена Сталинская премия в размере 100 000 рублей.

Из всех проблем, способных с большей или меньшей вероятностью занять место Великой теоремы Ферма, наибольшие шансы имеет проблема плотнейшей упаковки шаров Кеплера. В 1609 году немецкий ученый Иоганн Кеплер доказал, что планеты движутся не по круговым, а по эллиптическим орбитам. Это открытие совершило переворот в астрономии и позднее помогло Исааку Ньютону найти закон всемирного тяготения. Математическое наследие Кеплера не столь грандиозно по своим масштабам, как наследие Ньютона, но не менее глубоко. Проблему плотнейшей упаковки шаров можно сформулировать как задачу о том, как наиболее экономно сложить из апельсинов пирамиду.