Во время Полтавской баталии Авраам был уже дьяком Посольского приказа. Он неотлучно сопровождал царя, который в июне 1709 года послал ловкого еврея в Данию с письмом, извещавшим о победе русских над шведами. С 1710 года Веселовский служит в Ижорской канцелярии под руководством ╚государственных тайных дел министра╩, светлейшего князя А. Д. Меншикова, при котором занимает очень высокое положение. Современник свидетельствовал: ╚Ныне Аврам Веселовской┘ у князя гораздо в милости, и хотя не виден при его светлости, однако ж все дела отправляет╩.

В 1715 году Веселовский становится резидентом в Вене. По приезде в эту столицу Габсбургской монархии он незамедлительно (уже через пять дней) был принят во дворце самим цесарем Карлом IV. В налаживании связей при Венском дворе он обнаружил своё хитроумие и дипломатический дар ≈ в то время в международной практике это называлось ╚поиском нужных каналов╩. Задача нашего героя и состояла в том, чтобы ╚каналы╩ эти, так сказать, текли в направлении России, работали бы ей во благо. Примечательно, что он пытался заручиться поддержкой влиятельного обер-гофканцлера графа Цинцендорфа. Тонкий психолог, Веселовский не постеснялся прибегнуть и к коварству: прознав о неукротимой страсти супруги графа к карточной игре, он ссудил ей известную сумму в обмен на важные услуги её мужа российской короне.

Авраам Павлович не только выполнял посольские обязанности, но ≈ по заданию Петра ≈ подыскивал ╚нужных людей╩, ибо молодая Россия как никогда нуждалась в квалифицированных врачах, инженерах, архитекторах и т. д. При этом он стремился привлечь и своих соплеменников, не боясь ходатайствовать об иудеях перед явно не расположенным к ним царём. В одном из писем к монарху Веселовский пишет: ╚Евреи всегда отличались своими познаниями в медицинской науке, и только благодаря еврейским врачам возможно было успешно бороться со многими лютыми болезнями, между прочим, с лепрой (проказой.≈ Л. Б.)╩. Венценосец ответил на это письмо так: ╚Для меня совершенно безразлично, крещён ли человек или обрезан, чтобы он только знал своё дело и отличался порядочностью╩. Утверждение беспрецедентное, если учесть, что ранее тот же самый Пётр называл жидов плутами и обманщиками и категорически запретил им селиться в России! Не исключено, что импульсивный царь поддался здесь обаянию и силе логики своего венского резидента.

Веселовский неутомим: то он отыскивает для царя ценные книги по юриспруденции; то договаривается с учителями иезуитских школ в Праге о переводе на русский язык универсальных лексиконов, то по просьбе А. Д. Меншикова хлопочет о покупке парадной кареты.

Казалось, дипломатическая фортуна явно к нему благоволила, но произошло событие, нарушившее весьма продуктивную работу резидента. То было знаменитое ╚дело царевича Алексея╩, в коем Авраам Павлович вынужден был принять самое деятельное участие. Поскольку ╚непотребный сын╩ царя под чужим именем скрылся в Австрии, Веселовскому надлежало разведать о его местопребывании и способствовать его выдаче разгневанному отцу. С декабря 1716 года по июль 1717 года он фактически руководил поимкой царевича. В марте 1717 года Веселовскому удалось наконец напасть на его след в тирольской крепости Эренберг. Резидент пытался добиться выдачи Алексея дипломатическим путём (он вёл переговоры и с цесарским принцем Евгением, и даже добился личной аудиенции у самого Карла IV), но всё оставалось втуне.